Bài tập 25, § 1

Cho F là một không gian Fréchet tách được trong đó mọi dãy Cauchy đối với $\sigma(F, F')$ đều hội tụ theo tôpô này (ví dụ một không gian $L^1(T', \nu)$, trong đó $T'$ có một cơ sở đếm được (Ch. V, §5, Bài tập 16 b))). Chứng minh rằng mọi ánh xạ f của T vào F tích phân được thiết yếu theo vô hướng đều tích phân được tốt theo vô hướng. (Trước hết chứng minh rằng với mọi hàm $g \in \mathscr{L}^\infty(\mu)$ có giá compact, ta có $\int gf\, d\mu \in F$, bằng cách nhận thấy rằng f là $\mu$-đo được (No. 5, Mệnh đề 12), và áp dụng Mệnh đề 8 của No. 2 cùng với giả thiết. Suy ra từ đó, với sự trợ giúp của giả thiết, rằng $\int_A gf\, d\mu \in F$ với mọi hàm $g \in \mathscr{L}^\infty$ và mọi tập hợp A là hợp đếm được của các tập compact. Cuối cùng, với các ký hiệu của Bài tập 19, chứng minh rằng ảnh qua $u_f$ của mọi tập con liên tục đều của $F'$ là tương đối compact yếu trong $L^1$, bằng cách sử dụng định lý Eberlein (TVS, IV, §5, No. 3, Định lý 1) và sự kiện rằng các tập con liên tục đều của $F'$ là mêtric được đối với $\sigma(F', F)$.