Exercice 25, § 1

Soit $F$ un espace de Fréchet de type dénombrable, dans lequel toute suite de Cauchy pour $\sigma(F, F')$ est convergente pour cette topologie (par exemple un espace $L^1(T', \nu)$, si $T'$ admet une base dénombrable (chap. V, § 5, exerc. 18 b))). Montrer que toute application scalairement essentiellement intégrable $f$ de $T$ dans $F$ est scalairement bien intégrable. (Prouver d’abord que pour toute fonction $g \in \mathscr{L}^\infty(\mu)$ à support compact, on a

en remarquant que $f$ est $\mu$-mesurable (no 5, prop. 12), et en appliquant la prop. 8 du no 2 et l’hypothèse. En déduire, à l’aide de l’hypothèse, que $\int_A g f d\mu \in F$ pour toute fonction $g \in \mathscr{L}^\infty$ et tout ensemble $A$ réunion dénombrable d’ensembles compacts. Avec les notations de l’exerc. 19, prouver enfin que l’image par $u_t$ de toute partie équicontinue de $F'$ est relativement faiblement compacte dans $L^1$, en utilisant le th. d’Eberlein (Esp. vect. top., chap. IV, § 2, exerc. 15 b)) et le fait que les parties équicontinues de $F'$ sont métrisables pour $\sigma(F', F))$.