Bài tập 27, § 1

Cho E là một không gian Banach thực tách được, $G = E'$ là không gian đối ngẫu của nó, $G'$ là một không gian con của E trù mật trong E, phân biệt với E, và là không gian thùng (TVS, III, §4, Bài tập 4). Chứng minh rằng nếu G được trang bị tôpô $\sigma(G, G')$, và đối ngẫu của nó $G' = \mathscr{L}(G; \mathbf{R})$ với tôpô hội tụ compact, thì $G'$ không là nửa đầy đủ, và tồn tại một dãy $(x_n)$ trong $G'$ hội tụ về 0 và một dãy $(\lambda_n)$ các số $> 0$ và có tổng hữu hạn, sao cho chuỗi với số hạng tổng quát $\lambda_n x_n$ không hội tụ trong $G'$. (Trước hết hãy nhận xét rằng mọi tập con của G bị chặn đối với $\sigma(G, G')$ đều bị chặn đối với chuẩn trên G. Xét một điểm $a \in E$ không thuộc $G'$, và một dãy $(a_n)$ các điểm của $G'$ hội tụ về $a$ trong E và sao cho $\|a_{n+1} - a_n\| \leq 1/2^n$.)