Exercice 27, § 1

Soient E un espace de Banach réel de type dénombrable, G = E' son dual, G' un sous-espace de E, dense dans E, distinct de E et tonnelé (Esp. vect. top., chap. III, § 1, exerc. 6). Montrer que, si on munit G de la topologie σ(G, G'), et son dual G' = t(G ; R) de la topologie de la convergence compacte, G' n'est pas quasi-complet, et il y a dans G' une suite (x_n) tendant vers 0 et une suite (\lambda_n) de nombres > 0 et de somme finie, telles que la série de terme général \lambda_n x_n ne soit pas convergente dans G'. (Remarquer d'abord que toute partie de G bornée pour σ(G, G') est bornée pour la norme sur G. Considérer un point a ∈ E n'appartenant pas à G', et une suite (a_n) de points de G' qui converge vers a dans E et est telle que \| a_{n+1} - a_n \| \leq 1/2^n).