Bài tập 5, § 1

Với mọi $t \in \mathbf{R}$, cho $f(t)$ là hàm liên tục $x \mapsto \exp(-2\pi i tx)$, là một phần tử của không gian $\mathscr{C} = \mathscr{C}_C(\mathbf{R})$ các hàm phức liên tục trên $\mathbf{R}$. Không gian $\mathscr{C}$ đối ngẫu với không gian $\mathscr{C}' = \mathscr{C}'_C(\mathbf{R})$ các độ đo phức trên $\mathbf{R}$ có giá compact; không gian $\mathscr{K} = \mathscr{K}_C(\mathbf{R})$ các hàm phức liên tục có giá compact có thể được đồng nhất một cách chính tắc với một không gian con của $\mathscr{C}'$, bằng cách đồng nhất một hàm $\varphi \in \mathscr{K}$ với độ đo có mật độ $\varphi$ đối với độ đo Lebesgue. Người ta ký hiệu bởi $\mathscr{D}$ không gian con của $\mathscr{K}$ tạo bởi các hàm phức khả vi vô hạn có giá compact. Chứng minh rằng, khi $\mathscr{C}$ được trang bị tôpô $\sigma(\mathscr{C}, \mathscr{C}')$ hoặc tôpô $\sigma(\mathscr{C}, \mathscr{K})$, $f$ không khả tích vô hướng đối với độ đo Lebesgue $\mu$; tuy nhiên, đối với tôpô $\sigma(\mathscr{C}, \mathscr{D})$, $f$ là khả tích vô hướng $\mu$ và $\int f d\mu$ là độ đo $\varepsilon_0$; chứng minh rằng trong trường hợp này, các điều kiện của Mệnh đề 7 được thỏa mãn.*