Exercice 5, § 1

Pour tout $t \in \mathbf{R}$, soit $f(t)$ la fonction continue $x \mapsto \exp(-2\pi i tx)$, élément de l’espace $\mathscr{C} = \mathscr{C}_c(\mathbf{R})$ des fonctions complexes continues dans $\mathbf{R}$. L’espace $\mathscr{C}$ est en dualité avec l’espace $\mathscr{C}' = \mathscr{C}'_c(\mathbf{R})$ des mesures complexes sur $\mathbf{R}$ à support compact ; on identifie canoniquement à un sous-espace de $\mathscr{C}'$ l’espace $\mathscr{K} = \mathscr{K}_c(\mathbf{R})$ des fonctions complexes continues à support compact, en identifiant une fonction $\varphi \in \mathscr{K}$ à la mesure de densité $\varphi$ par rapport à la mesure de Lebesgue. On désigne par $\mathscr{D}$ le sous-espace de $\mathscr{K}$ formé des fonctions complexes indéfiniment dérivables à support compact. Montrer que, lorsqu’on munit $\mathscr{C}$ de la topologie $\sigma(\mathscr{C}, \mathscr{C}')$ ou de la topologie $\sigma(\mathscr{C}, \mathscr{K})$, $f$ n’est pas scalairement intégrable pour la mesure de Lebesgue $\mu$; par contre, pour la topologie $\sigma(\mathscr{C}, \mathscr{D})$, $f$ est scalairement $\mu$-intégrable et $\int f d\mu$ est la mesure $\varepsilon_0$; prouver que dans ce cas les conditions de la prop. 7 sont vérifiées.*