Bài tập 7, § 1

a) Cho $F = \overline{\mathscr{K}(\mathbf{N})}$ là không gian Banach của các dãy số thực hội tụ về 0, $F' = L^1(\mathbf{N})$ là đối ngẫu của nó (TVS, IV, §1, Bài tập 1). Cho $f = (f_n)$ là ánh xạ từ $I = [0,1]$ vào $F$ sao cho $f_n(t) = n \varphi_{I_n}(t)$, trong đó $I_n = [0,1/n]$. Chứng minh rằng $f$ khả tích vô hướng đối với độ đo Lebesgue $\mu$ trên $I$, nhưng $\int f\,d\mu$ là một phần tử của $F''$ không thuộc $F$.

b) Cho $g$ là ánh xạ từ $J = [-1,+1]$ vào $F$ được xác định bởi các điều kiện $g(t) = f(t)$ với $t \geq 0$, $g(t) = -f(-t)$ với $t \leq 0$. Khi đó $g$ khả tích vô hướng đối với độ đo Lebesgue trên $J$, và $\int g\,d\mu \in F$, nhưng tồn tại các hàm $h \in \mathscr{L}^\infty$ sao cho $\int hg\,d\mu \notin F$.

c) Suy ra từ a) một chứng minh mới cho sự kiện là không gian vectơ tôpô $F$ không đẳng cấu với đối ngẫu của một không gian định chuẩn (TVS, IV, §2, Bài tập 22 c)).