Exercice 7, § 1

a) Soient $F = \overline{\mathscr{K}(\mathbf{N})}$ l’espace de Banach des suites de nombres réels tendant vers 0, $F' = L^1(\mathbf{N})$ son dual (Esp. vect. top., chap. IV, § 1, exerc. 1). Soit $f = (f_n)$ l’application de $I = [0, 1]$ dans $F$ telle que $f_n(t) = n \varphi_{I_n}(t)$, où $I_n = [0, 1/n]$. Montrer que $f$ est scalairement intégrable pour la mesure de Lebesgue $\mu$ sur $I$, mais que $\int f d\mu$ est un élément de $F''$ non dans $F$.

b) Soit $g$ l’application de $J = [-1, +1]$ dans $F$ définie par les conditions $g(t) = f(t)$ pour $t \geq 0$, $g(t) = -f(-t)$ pour $t \leq 0$. Alors $g$ est scalairement intégrable pour la mesure de Lebesgue sur $J$ et on a $\int g d\mu \in F$, mais il existe des fonctions $h \in \mathscr{L}^\infty$ telles que $\int h g d\mu \notin F$.

c) Déduire de a) une nouvelle démonstration du fait que l’espace vectoriel topologique $F$ n’est pas isomorphe au dual d’un espace normé (cf. Esp. vect. top., chap. IV, § 5, exerc. 15 c)).