Bài tập 8, § 1

Cho $F$ là một không gian lồi địa phương Hausdorff, $f$ là một ánh xạ khả tích địa phương vô hướng từ $T$ vào $F$ sao cho, với mọi tập con compact $K$ của $T$, $\int_K f\,d\mu \in F$.

a) Chứng minh rằng nếu $f$ khả tích thiết yếu vô hướng, và nếu $F$ là nửa phản xạ (hoặc chỉ cần mọi dãy Cauchy đối với $\sigma(F,F')$ đều hội tụ trong $F$ đối với tôpô này, khi $T$ là đếm được tại vô hạn), thì $\int gf\,d\mu \in F$ với mọi hàm $g \in \mathscr{L}^\infty$.

b) Chứng minh rằng nếu $F$ là gần đầy đủ và nếu, với mọi bán chuẩn liên tục $q$ trên $F$, ta có $\int^* q(f(t))\,d\mu(t) < +\infty$, thì $f$ khả tích thiết yếu vô hướng và $\int gf\,d\mu \in F$ với mọi hàm $g \in \mathscr{L}^\infty$.

(Trong cả hai trường hợp, xét tập có hướng tăng của các tập con compact của $T$.)