Exercice 8, § 1

Soient $F$ un espace localement convexe séparé, $f$ une application scalairement localement intégrable de $T$ dans $F$ telle que, pour toute partie compacte $K$ de $T$, $\int_K f d\mu \in F$.

a) Montrer que, si $f$ est scalairement essentiellement intégrable, et si $F$ est semi-réflexif (ou seulement si toute suite de Cauchy pour $\sigma(F, F')$ converge dans $F$ pour cette topologie, lorsque $T$ est dénombrable à l’infini), on a $\int g f d\mu \in F$ pour toute fonction $g \in \mathscr{L}^\infty$.

b) Montrer que, si F est quasi-complet, et si, pour toute semi-norme continue q sur F, on a $\int_{\ast}^{*} q(f(t)) d\mu(t) < + \infty$, alors f est scalairement essentiellement intégrable et on a $\int g f d\mu \in F$ pour toute fonction $g \in T^\infty$. (Dans les deux cas, considérer l’ensemble filtrant croissant des parties compactes de T.)