Bài tập 10, § 2

Cho K là một không gian compact. Đối với mọi không gian thương Hausdorff $K_1$ của K, người ta đồng nhất không gian Banach $\mathscr{C}(K_1)$ với một không gian con đóng của $\mathscr{C}(K)$ bằng đơn ánh $f \mapsto f \circ \pi$, trong đó $\pi$ là ánh xạ chính tắc của K lên $K_1$.

a) Cho u là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ $\mathscr{C}(K)$ vào một không gian lồi địa phương Hausdorff quasi-đầy đủ F. Để u biến quả cầu đơn vị của $\mathscr{C}(K)$ thành một tập con của F tương đối compact đối với $\sigma(F, F')$, chỉ cần rằng, đối với mọi không gian thương đo được mêtric $K_1$ của K, hạn chế của u trên $\mathscr{C}(K_1)$ có tính chất đó. (Sử dụng định lý Eberlein (TVS, IV, §5, No. 3, Th. 1), và nhận xét rằng mọi dãy $(f_n)$ trong $\mathscr{C}(K)$ được chứa trong một không gian con $\mathscr{C}(K_1)$, trong đó $K_1$ là một không gian thương đo được mêtric của K; để làm điều đó, xét ánh xạ liên tục $x \mapsto (f_n(x))$ của K vào $\mathbf{R}^N$.)

b) Đối với mọi không gian thương Hausdorff $K_1$ của K, chuyển vị của đơn ánh chính tắc của $\mathscr{C}(K_1)$ vào $\mathscr{C}(K)$ là ánh xạ $\mu \mapsto \pi(\mu)$ từ $\mathscr{M}(K)$ vào $\mathscr{M}(K_1)$. Ký hiệu

²Bổ đề này, bị lược bỏ khỏi ấn bản thứ hai của Ch. V, khẳng định rằng $\int^* fg\, d\mu = \inf \int^* \varphi g\, d\mu$, trong đó f và g là các hàm số $\geq 0$, g là đo được, và $\varphi$ chạy trên tập hợp các hàm đo được $\geq f$.

bởi $(\mathscr{M}(K))'$ đối ngẫu của không gian Banach $\mathscr{M}(K)$ (đối ngẫu thứ hai của $\mathscr{C}(K)$). Để một tập con A của $\mathscr{M}(K)$ là tương đối compact đối với $\sigma(\mathscr{M}(K), (\mathscr{M}(K))')$, điều kiện cần và đủ là, đối với mọi không gian thương đo được mêtric $K_1$ của K, ảnh chính tắc của A trong $\mathscr{M}(K_1)$ là tương đối compact đối với $\sigma(\mathscr{M}(K_1), (\mathscr{M}(K_1))')$. (Nhận xét rằng A bị chặn mạnh; khi đó có thể giả sử rằng A là lồi, cân bằng và đóng đối với tôpô thô $\sigma(\mathscr{M}(K), \mathscr{C}(K))$ (áp dụng trong $\mathscr{M}(K_1)$ Bài tập 10 của Ch. IV, §7); do đó A là ảnh của quả cầu đơn vị của đối ngẫu $F'$ của một không gian Banach F, qua chuyển vị của một ánh xạ tuyến tính liên tục u từ $\mathscr{C}(K)$ vào F (xét tập cực của A trong $\mathscr{C}(K)$); sau đó áp dụng a).)