Exercice 10, § 2

Soit K un espace compact. Pour tout espace quotient séparé $K_1$ de K, on identifie l’espace de Banach $C(K_1)$ à un sous-espace fermé de $C(K)$ par l’injection $f \to f \circ \pi$, où $\pi$ est l’application canonique de K sur $K_1$.

a) Soit u une application linéaire continue de $C(K)$ dans un espace localement convexe séparé quasi-complet F. Pour que u transforme la boule unité de $C(K)$ en une partie de F relativement compacte pour $\sigma(F, F')$, il suffit que, pour tout espace quotient métrisable $K_1$ de K, la restriction de u à $C(K_1)$ ait la même propriété. (Utiliser le th. d’Eberlein (Esp. vect. top., chap. IV, § 2, exerc. 15), et remarquer que toute suite $(f_n)$ dans $C(K)$ est contenue dans un sous-espace $C(K_1)$, où $K_1$ est un espace quotient métrisable de K ; pour cela, on considérera l’application continue $x \to (f_n(x))$ de K dans $\mathbf{R}^N$.).

b) Pour tout espace quotient séparé $K_1$ de $K$, la transposée de l'injection canonique de $c(K_1)$ dans $c(K)$ est l'application $\mu \to \pi(\mu)$ de $\mathscr{M}(K)$ dans $\mathscr{M}(K_1)$. On désigne par $(\mathscr{M}(K))'$ le dual de l'espace de Banach $\mathscr{M}(K)$ (bidual de $c(K)$). Pour qu'une partie $A$ de $\mathscr{M}(K)$ soit relativement compacte pour $\sigma(\mathscr{M}(K), (\mathscr{M}(K))')$, il faut et il suffit que, pour tout espace quotient métrisable $K_1$ de $K$, l'image canonique de $A$ dans $\mathscr{M}(K_1)$ soit relativement compacte pour $\sigma(\mathscr{M}(K_1), (\mathscr{M}(K_1))')$. (Remarquer que $\Lambda$ est fortement borné ; on peut supposer alors que $\Lambda$ est convexe, équilibré et fermé pour la topologie vague $\sigma(\mathscr{M}(K), c(K))$ (appliquer dans $\mathscr{M}(K_1)$ le chap. IV, § 4, exerc. 19) ; $A$ est donc l'image de la boule unité du dual $F'$ d'un espace de Banach $F$, par la transposée d'une application linéaire continue $u$ de $c(K)$ dans $F$ (considérer le polaire de $\Lambda$ dans $c(K)$) ; appliquer alors $a$.)