Bài tập 11, § 2

Cho F, G là hai không gian lồi địa phương Hausdorff, giả sử G nửa đầy đủ; cho $u$ là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ F vào G; chuyển vị của nó $t_u$ là liên tục mạnh, chuyển vị $t(t_u)$ là một ánh xạ tuyến tính liên tục mạnh và yếu từ $F''$ vào $G''$. Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương:

$\alpha)$ $u$ biến mọi tập con bị chặn của F thành một tập con tương đối compact của G đối với $\sigma(G, G')$.

$\beta)$ $t(t_u)$ biến $F''$ vào G.

$\gamma)$ $t_u$ liên tục đối với các tôpô $\sigma(G', G)$ và $\sigma(F', F'')$.

$\delta)$ $t_u$ biến mọi tập con liên tục đều của $G'$ thành một tập tương đối compact đối với $\sigma(F', F'')$.

(Sử dụng sự kiện rằng mọi tập con bị chặn của F là tương đối compact trong $F''$ đối với $\sigma(F'', F')$. Để thấy rằng $\delta$ suy ra $\gamma$), trước hết xét trường hợp G đầy đủ, và sử dụng Hệ quả 1 của Định lý 2 của TVS, III, §3, No. 6. Để chuyển sang trường hợp tổng quát, nhúng G vào phần đầy đủ của nó và nhận xét rằng mọi điểm của $F''$ đều nằm trong bao đóng, đối với tôpô $\sigma(F'', F')$, của một tập con bị chặn của F.)