Exercice 11, § 2

Soient $F, G$ deux espaces localement convexes séparés, $G$ étant supposé quasi-complet ; soit $u$ une application linéaire continue de $F$ dans $G$ ; sa transposée $t'u$ étant fortement continue, la transposée $t'(t'u)$ est une application linéaire fortement et faiblement continue de $F''$ dans $G''$. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

$\alpha)$ $u$ transforme toute partie bornée de $F$ en une partie relativement compacte de $G$ pour $\sigma(G, G')$.

$\beta)$ $t'(t'u)$ applique $F''$ dans $G$.

$\gamma)$ $t'u$ est continue pour les topologies $\sigma(G', G)$ et $\sigma(F', F'')$.

$\delta)$ $t'u$ transforme toute partie équicontinue de $G'$ en une partie relativement compacte pour $\sigma(F', F'')$.

(Utiliser le fait que toute partie bornée de $F$ est relativement compacte dans $F''$ pour $\sigma(F'', F')$. Pour voir que $\delta$) entraîne $\gamma)$, considérer d'abord le cas où $G$ est complet, et utiliser le th. 4 de Esp. vect. top., chap. IV, § 2, no 5. Pour passer au cas général, plonger $G$ dans son complété et remarquer que tout point de $F''$ est adhérent, pour la topologie $\sigma(F'', F')$, à une partie bornée de $F$.)