Bài tập 12, § 2

a) Cho K là một không gian compact, $E = E(K)$ là không gian con của $\mathbf{R}^K$ được tạo thành bởi các tổ hợp tuyến tính của các hàm đặc trưng của các tập mở; người ta đồng nhất E với một không gian con của đối ngẫu kép của $\mathscr{C}(K)$. Chứng minh rằng một dãy Cauchy đối với $\sigma(\mathscr{M}(K), E)$ là hội tụ đối với $\sigma(\mathscr{M}(K), (\mathscr{M}(K))')$ (sử dụng Mệnh đề 12 và Bài tập 15 của Ch. V, §5). Từ đó, suy ra rằng mọi tập con A của $\mathscr{M}(K)$ tương đối compact đối với tôpô $\sigma(\mathscr{M}(K), E)$, là tương đối compact đối với tôpô $\sigma(\mathscr{M}(K), (\mathscr{M}(K))')$. (Rút gọn về trường hợp K mêtric được, bằng cách sử dụng Bài tập 10 b). Chứng minh rằng A bị chặn, bằng cách áp dụng Bài tập 13 của Ch. V, §5. Chú ý rằng trên A, tôpô mơ hồ $\sigma(\mathscr{M}(K), \mathscr{C}(K))$ và tôpô $\sigma(\mathscr{M}(K), \overline{E})$ là đồng nhất, $\overline{E} \supset \mathscr{C}(K)$ là bao đóng của E trong đối ngẫu mạnh của $\mathscr{M}(K)$; suy ra từ điều này, bằng cách sử dụng sự kiện rằng $\mathscr{C}(K)$ là tách được, rằng mọi dãy các điểm của A có một dãy con là Cauchy đối với $\sigma(\mathscr{M}(K), E)$; kết luận bằng cách viện dẫn định lý Eberlein.)

b) Cho T là một không gian compact địa phương, m là một độ đo vectơ trên T nhận giá trị trong một không gian lồi địa phương Hausdorff, gần đầy đủ F. Giả sử rằng, với mọi tập con compact K của T, $\int_K dm \in F$; chứng minh rằng, với mọi hàm Borel f bị chặn trên T có giá compact, ta có $\int f dm \in F$, và rằng ảnh theo $f \mapsto \int f dm$ của tập các hàm Borel có giá được chứa trong một tập con compact K của T và có chuẩn $\|f\| \leq 1$, là tương đối compact đối với $\sigma(F, F')$ (sử dụng a) và Bài tập 11, áp dụng cho $u : f \mapsto \int f dm$, trong đó f chạy trên tập các tổ hợp tuyến tính của các hàm đặc trưng của các tập con compact của T).

c) Cho F là một không gian lồi địa phương Hausdorff, gần đầy đủ, m là một độ đo vectơ trên T nhận giá trị trong F, vô hướng có cơ sở $\mu$; với mọi $z' \in F'$, viết $z' \circ m = g_{z'} \cdot \mu$. Để điều kiện của b) được thỏa mãn, điều kiện cần và đủ là, với mọi tập con compact K của T, mọi tập con đều liên tục H' của F', và mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một $\delta > 0$ sao cho các quan hệ $A \subset K$ và $\mu^*(A) \leq \delta$ kéo theo $\int_A^* |g_{z'}| d\mu \leq \varepsilon$ với mọi $z' \in H'$ (sử dụng Bài tập 11 ở trên và Bài tập 15 của Ch. V, §5); khi đó m được gọi là tuyệt đối liên tục đối với $\mu$ (đối với tôpô ban đầu của F). Mọi độ đo vectơ nhận giá trị trong một không gian nửa phản xạ và vô hướng có cơ sở $\mu$, đều tuyệt đối liên tục đối với $\mu$ (Hệ quả 2 của Mệnh đề 3). Mọi độ đo vectơ majorizable m nhận giá trị trong một không gian Banach $F$ đều tuyệt đối liên tục đối với $|\mathbf{m}|$ (đối với tôpô ban đầu của $F$).