Exercice 12, § 2

a) Soient $K$ un espace compact, $E = E(K)$ le sous-espace de $\mathbf{R}^k$ formé des combinaisons linéaires de fonctions caractéristiques d'ensembles ouverts ; on identifie $E$ à un sous-espace du bidual de $c(K)$. Montrer qu'une suite de Cauchy pour $\sigma(\mathscr{M}(K), E)$ est convergente pour $\sigma(\mathscr{M}(K), (\mathscr{M}(K))')$ (utiliser la prop. 12 et l'exerc. 17 du chap. V, § 5). En déduire que toute partie $A$ de $\mathscr{M}(K)$, relativement compacte pour la topologie $\sigma(\mathscr{M}(K), E)$, est relativement compacte pour la topologie $\sigma(\mathscr{M}(K), (\mathscr{M}(K))')$. (Se ramener au cas où $K$ est métrisable en utilisant l'exerc. 10 b). Montrer que $\Lambda$ est borné en appliquant l'exerc. 15 du chap. V, § 5. Noter que sur $A$ la topologie vague $\sigma(\mathscr{M}(K), c(K))$ et la topologie $\sigma(\mathscr{M}(K), \overline{E})$ sont identiques, $\overline{E} \supset c(K)$ étant l'adhérence de $E$ dans le dual fort de $\mathscr{M}(K)$; en utilisant le fait que $c(K)$ est de type dénombrable, en déduire que de toute suite de points de $A$ on peut extraire une suite de Cauchy pour $\sigma(\mathscr{M}(K), E)$; achever en invoquant le th. d'Eberlein.)

b) Soient $T$ un espace localement compact, $m$ une mesure vectorielle sur $T$ à valeurs dans un espace localement convexe séparé et quasicomplet F. On suppose que, pour toute partie compacte K de T, on ait $\int_K d\mathbf{m} \in F$; montrer que, pour toute fonction borélienne bornée $f$ à support compact dans T, on a $\int f d\mathbf{m} \in F$, et que l’image par $f \to \int f d\mathbf{m}$ de l’ensemble des fonctions boréliennes de support contenu dans un partie compacte K de T et de norme $\|f\| \leq 1$, est relativement compacte pour $\sigma(F, F')$ (utiliser $a$) et l’exerc. 11, appliqué à $u : f \to \int f d\mathbf{m}$, où $f$ parcourt l’ensemble des combinaisons linéaires de fonctions caractéristiques de parties compactes de T).

c) Soient F un espace localement convexe séparé et quasi-complet, $\mathbf{m}$ une mesure vectorielle sur T à valeurs dans F, scalairement de base $\mu$; pour tout $z' \in F'$, soit $z' \circ \mathbf{m} = g_{z'} \cdot \mu$. Pour que la condition de b) soit remplie, il faut et il suffit que, pour toute partie compacte K de T, toute partie équicontinue H’ de F’ et tout $\varepsilon > 0$, il existe $\delta'_1 > 0$ tel que les relations $A \subset K$ et $\mu^*(A) \leq \delta$ entraînent $\int_A^* |g_{z'}| d\mu \leq \varepsilon$ pour tout $z' \in H'$ (utiliser l’exerc. 11 ci-dessus et l’exerc. 17 du chap. V, § 5); on dit alors que $\mathbf{m}$ est absolutely continue par rapport à $\mu$ (pour la topologie initiale de F). Toute mesure vectorielle à valeurs dans un espace semi-réflexif, et scalairement de base $\mu$, est absolument continue par rapport à $\mu$ (cor. 2 de la prop. 3). Toute mesure vectorielle majorable $\mathbf{m}$ à valeurs dans un espace de Banach F est absolument continue par rapport à $|\mathbf{m}|$ (pour la topologie initiale de F).