Bài tập 13, § 2

Cho $G$ là một không gian Hausdorff có thùng, $F = G'$ là đối ngẫu của nó; nếu, khi $F$ được trang bị một tôpô tương thích với đối ngẫu giữa $F$ và $G$, $\mathbf{m}$ là một độ đo vectơ trên $T$ nhận giá trị trong $F$, thì $\mathbf{m}$ lại là một độ đo vectơ khi $F$ được trang bị tôpô mạnh của đối ngẫu của $G$.

Giả sử $\mathbf{m}$ là vô hướng với cơ sở $\mu$; khi đó $\mathbf{m}$ tuyệt đối liên tục đối với $\mu$, khi $F$ được trang bị tôpô $\tau(F, G)$ (Bài tập 12 c)). Để $\mathbf{m}$ tuyệt đối liên tục đối với $\mu$ khi $F$ được trang bị tôpô mạnh, điều kiện cần và đủ là, với mọi tập con compact $K$ của $T$ và mọi dãy $(A_n)$ các tập con $\mu$-đo được của $K$, ảnh $B$ qua $\mathbf{m}$ của bao đóng trong $\mathscr{L}^1(\mu)$ của tập hợp các hàm bậc thang có giá trị tuyệt đối $\leq 1$, trên đại tộc sinh bởi dãy các $A_n$ (Ch. IV, §4, No. 9), chứa một tập con đếm được trù mật đối với tôpô mạnh của $G'$. (Để thấy rằng điều kiện là đủ, rút gọn về trường hợp $T = K$ là một không gian Stone (Ch. IV, §4, Bài tập 10). Khi đó lập luận phản chứng: nếu $(A_n)$ là một dãy các tập con của $K$ vừa mở vừa đóng, ta có thể giả sử, bằng cách chuyển qua một không gian thương mêtric hóa $K_1$ của $K$ (Bài tập 10 a)), rằng các hàm liên tục trên $K_1$ tương ứng với các $\varphi_{A_n}$ tạo thành một tập hợp toàn phần trong $\mathscr{C}(K_1)$. Mặt khác, khi xét thương của $G$ theo không gian con trực giao với $B$, ta có thể giả sử rằng $B$ là toàn phần trong $F = G'$ đối với tôpô $\sigma(G', G)$; nếu $H$ là không gian con của $F = G'$ sinh bởi $B$, thì giả thiết suy ra rằng mọi tập con bị chặn $C$ của $G$ đều tiền compact và mêtric hóa được đối với $\sigma(G, H)$. Do đó mọi dãy bị chặn $(z_n)$ các điểm của $G$ đều có một dãy con Cauchy đối với $\sigma(G, H)$; hãy chứng minh rằng nếu $(z_n)$ là một dãy Cauchy đối với $\sigma(G, H)$, và nếu viết $z_n \circ \mathbf{m} = g_{z_n} \cdot \mu$, thì dãy các lớp của các $g_{z_n}$ trong $L^1(\mu)$ là một dãy Cauchy đối với tôpô $\sigma(L^1, L^\infty)$; cuối cùng, hãy kết luận một mâu thuẫn từ điều này bằng cách sử dụng Bài tập 15 và 16 của Ch. V, §5.)