Exercice 13, § 2

Soient G un espace tonnelé séparé, $F = G'$ son dual; si, lorsqu’on munit F d’une topologie compatible avec la dualité entre F et G, $\mathbf{m}$ est une mesure vectorielle sur T à valeurs dans F, $\mathbf{m}$ est encore une mesure vectorielle lorsque F est muni de la topologie forte du dual de G.

On suppose $\mathbf{m}$ scalairement de base $\mu$; $\mathbf{m}$ est alors absolument continue par rapport à $\mu$, lorsque F est muni de la topologie $\tau(F, G)$ (exerc. 12 c)). Pour que $\mathbf{m}$ soit absolument continue par rapport à $\mu$ lorsque F est muni de la topologie forte, il faut et il suffit que, pour toute partie compacte K de T et toute suite $(A_n)$ de parties $\mu$-mesurables de K, l’image B par $\mathbf{m}$ de l’adhérence dans $\mathscr{L}^1(\mu)$ de l’ensemble des fonctions étagées de valeur absolue $\leq 1$, sur le clan engendré par la suite des $A_n$ (chap. IV, § 4, n° 8), contienne une partie dénombrable dense pour la topologie forte de $G'$. (Pour voir que la condition est suffisante, se ramener au cas où $T = K$ est un espace stonien (chap. IV, § 4, exerc. 10). Raisonner alors par l’absurde : si $(A_n)$ est une suite de parties à la fois ouvertes et fermées de K, en passant à un espace quotient métrisable $K_1$ de K (exerc. 10 a)), on peut supposer que les fonctions continues sur $K_1$ correspondant aux $\varphi_{A_n}$ forment un ensemble total dans $C(K_1)$. D’autre part, en considérant le quotient de G par le sous-espace orthogonal à B, on peut supposer que B est total dans $F = G'$ pour la topologie $\sigma(G', G)$; si $H$ est le sous-espace de $F = G'$ engendré par $B$, l'hypothèse entraîne alors que toute partie bornée $C$ de $G$ est précompacte et métrisable pour $\sigma(G, H)$. On peut donc de toute suite bornée $(z_n)$ de points de $G$ extraire une suite de Cauchy pour $\sigma(G, H)$; montrer que si $(z_n)$ est une suite de Cauchy pour $\sigma(G, H)$, et si on pose $z_n \circ m = g_{z_n} \cdot \mu$, la suite des classes des $g_{z_n}$ dans $L^1(\mu)$ est une suite de Cauchy pour la topologie $\sigma(L^1, L^\infty)$; en conclure finalement une contradiction en utilisant les exerc. 17 et 18 du chap. V, § 5).