Bài tập 15, § 2

a) Cho $f$ là một ánh xạ địa phương khả tích vô hướng từ $T$ vào một không gian lồi địa phương Hausdorff gần đầy đủ $F$. Khi đó $\mathbf{m} = f \cdot \mu$ là một độ đo vectơ với các giá trị trong ${F'}^*$ (đối với tôpô $\sigma({F'}^*, F')$). Chứng minh rằng nếu độ đo này tuyệt đối liên tục (đối với tôpô hội tụ đều trên các tập con liên tục đều của $F'$), và nếu hơn nữa, $f$ là $\mu$-*đo được* (đối với tôpô ban đầu của $F$), thì $\mathbf{m}$ là một độ đo vectơ với các giá trị trong $F$. (Sử dụng Mệnh đề 8 của §1, No. 2.) Nếu $F$ là một không gian Banach và nếu, với một $p > 1$ nào đó, $\langle z', f \rangle$ thuộc $\overline{\mathscr{L}}^p(\mu)$ với mọi $z' \in F'$, thì độ đo $\mathbf{m}$ là tuyệt đối liên tục (xem Bài tập 14 a)).

b) Cho $I = [0, 1]$, $f$ là hàm xác định trên $I \times I$ (sử dụng giả thiết liên tục) sao cho, với mọi $t \in I$, $s \mapsto f(s, t)$ là hàm đặc trưng của một tập đếm được, và, với mọi $s \in I$, $t \mapsto f(s, t)$ là hàm đặc trưng của phần bù của một tập đếm được (Ch. V, §8, Bài tập 7 c)). Ký hiệu $I_0$ là khoảng $I$ được trang bị tôpô rời rạc, $F$ là không gian Banach $\mathscr{B}(I) = L^\infty(I)$ của các hàm bị chặn trên $I$; có thể đồng nhất $F$ với không gian $\mathscr{C}(\widetilde{I}_0)$ của các hàm liên tục trên compact hóa Stone–Čech của $I_0$. Với mọi $s \in I$, ký hiệu $g(s)$ là phần tử $t \mapsto f(s, t)$ của $F$; chứng minh rằng $g$ khả tích vô hướng đối với độ đo Lebesgue $\mu$ trên $I$; nhưng $\int g\, d\mu$ không thuộc $F$. Chính xác hơn, $g \cdot \mu$ là một độ đo vectơ với các giá trị trong $F''$, bằng $c\mu$, trong đó $c$ là vectơ hằng được đồng nhất với hàm đặc trưng của $\widetilde{I}_0 - I_0 = E$ (xem Bài tập 12 a)). (Phân tích mọi độ đo dương trên $\widetilde{I}_0$ thành tổng của một độ đo nguyên tử và một độ đo khuếch tán (Ch. V, §5, No. 10, Mệnh đề 15), và nhận xét rằng độ đo khuếch tán được mang bởi $E$.) Từ đó, suy ra rằng không tồn tại hàm $\mu$-đo được nào $h$ với các giá trị trong $F$ sao cho $h - g$ là không đáng kể vô hướng đối với $\mu$ (sử dụng $a$).