Exercice 15, § 2

a) Soit $f$ une application scalairement localement intégrable de $T$ dans un espace localement convexe séparé et quasi-complet $F$. Alors $m = f.\mu$ est une mesure vectorielle à valeurs dans ${F'}^*$ (pour la topologie $\sigma({F'}^*, F')$). Montrer que, si cette mesure est absolument continue (pour la topologie de la convergence uniforme dans les parties équicontinues de $F'$), et si en outre $f$ est $\mu$-mesurable (pour la topologie initiale de $F$), $m$ est une mesure vectorielle à valeurs dans $F$. (Utiliser la prop. 8 du $§ 1$, no 2.) Si $F$ est un espace de Banach et si, pour un $p > 1$, $\langle z', f \rangle$ appartient à $\overline{L^p}(\mu)$ pour tout $z' \in F'$, la mesure $m$ est absolument continue (cf. exerc. 14 a)).

b) Soient $I = (0, 1)$, $f$ la fonction définie dans $I \times I$ (en utilisant l'hypothèse du continu) telle que, pour tout $t \in I, s \to f(s, t)$ soit la fonction caractéristique d'un ensemble dénombrable, et pour tout $s \in I, t \to f(s, t)$ soit la fonction caractéristique du complémentaire d'un ensemble dénombrable (chap. V, § 8, exerc. 7 c)). On désigne par $I_0$ l'intervalle $I$ muni de la topologie discrète, par $F$ l'espace de Banach $\mathscr{B}(I) = L^\infty(I)$ des fonctions bornées sur $I$; on peut identifier $F$ à l'espace $C(\tilde{I}_0)$ des fonctions continues sur le compactifié de Stone-Čech de $I_0$. Pour tout $s \in I$, on désigne par $g(s)$ l'élément $t \to f(s, t)$ de $F$; montrer que $g$ est scalairement intégrable pour la mesure de Lebesgue $\mu$ sur $I$; mais $\int g d\mu$ n'appartient pas à $F$. De façon précise, $g.\mu$ est une mesure vectorielle à valeurs dans $F''$, égale à $c\mu$, où $c$ est le vecteur constant identifié à la fonction caractéristique de $\tilde{I}_0 - I_0 = E$ (cf. exerc. 12 a)). (Décomposer toute mesure positive sur $\tilde{I}_0$ en somme d'une mesure atomique et d'une mesure diffuse (chap. V, § 10, prop. 15), et remarquer que la mesure diffuse est portée par $E$.) En déduire qu'il n'existe aucune fonction $\mu$-mesurable $h$ à valeurs dans $F$ telle que $h - g$ soit scalairement $\mu$-négligeable (utiliser a)).