Bài tập 16, § 2

Xét các ánh xạ $u_m$ của $T = [0, 1]$ vào một không gian Hilbert tách được, được xác định trong §1, Bài tập 1, và đặt $f_k = u_1 + \cdots + u_k$; hãy chứng minh rằng các độ đo vectơ $f_k \cdot \mu$ hội tụ đều trên mọi tập con bị chặn của $C(T)$ tới một độ đo vectơ $m$ có giá trị trong $F$. Hơn nữa, $m$ có thể được mở rộng bởi tính liên tục tới không gian $L^2(\mu)$ và, với mọi hàm $f \in L^2$, ta có $\int f dm \in F$ và $|\int f dm| \leq N_2(f)$ trong $F$; đặc biệt, $m$ là vô hướng có cơ sở $\mu$ và tuyệt đối liên tục đối với $\mu$ theo tôpô mạnh (Bài tập 12 c)). Tuy nhiên, $m$ không có cơ sở $\nu$ đối với bất kỳ độ đo dương $\nu$ nào trên $T$, và a fortiori (No. 5, Hệ quả 4 của Định lý 1) không là majorizable. (Rút gọn về trường hợp $\nu$ có cơ sở $\mu$, sử dụng Định lý 3 của Ch. V, §5, No. 7.)