Exercice 16, § 2

On considère les applications $u_m$ de $T = (0, 1)$ dans un espace de Hilbert de type dénombrable, définies au § 1, exerc. 1, et on pose $f_k = u_1 + \ldots + u_k$; montrer que les mesures vectorielles $f_k \cdot \mu$ convergent uniformément dans toute partie bornée de $C(T)$ vers une mesure vectorielle $m$ à valeurs dans $F$. En outre, $m$ se prolonge par continuité à l’espace $L^2(\mu)$, et pour toute fonction $f \in L^2$, on a $\int f d\mathbf{m} \in F$ et $\left| \int f d\mathbf{m} \right| \leq N_2(f)$ dans $F$; en particulier, $m$ est scalairement de base $\mu$ et absolument continue par rapport à $\mu$ pour la topologie forte (exerc. 12 c)). Toutefois, $m$ n’est de base $\nu$ pour aucune mesure positive $\nu$ sur $T$, et a fortiori (n° 5, cor. 4 du th. 1) n’est pas majorable. (Se ramener au cas où $\nu$ est de base $\mu$, en utilisant le th. 3 du chap. V, § 5, n° 7.)