Bài tập 18, § 2

a) Cho $T$ là một không gian địa phương compact, $(K_\alpha)$ là một phủ hữu hạn địa phương của $T$ bởi các tập compact. Cho $\mu$ là một độ đo dương trên $T$, $\mu_\alpha$ là độ đo cảm sinh bởi $\mu$ trên $K_\alpha$. Giả sử rằng mỗi không gian $L^\infty(K_\alpha, \mu_\alpha)$ có tính chất nâng. Chứng minh rằng $L^\infty(T, \mu)$ có tính chất nâng.

b) Cho $K$ là một không gian compact mêtric được, $\mu$ là một độ đo dương trên $K$, $(\varpi_n)$ là một dãy cơ sở (Ch. IV, §5, Bài tập 17) các phân hoạch hữu hạn của $K$ thành các tập hợp khả tích. Với mọi tập con khả tích $A$ của $K$ và mọi phần tử $\tilde{f} \in L^1(\mu)$, đặt $\lambda_\alpha(\tilde{f}) = 0$ nếu $\mu(A) = 0$, và $\lambda_\alpha(\tilde{f}) = (\mu(A))^{-1} \int_A f d\mu$ trong trường hợp ngược lại; với mọi $n$, đặt $\rho_n(\tilde{f}) = \sum_k \lambda_{A_k}(\tilde{f}) \varphi_{A_k}$, nếu $\varpi_n = (A_k)$. Chứng minh rằng dãy $(\rho_n(\tilde{f}))$ các hàm khả tích theo $\mu$ hội tụ hầu khắp nơi đến $f$. (Xét trước hết trường hợp $f$ là một hàm liên tục. Cho một số tùy ý $a > 0$, tiếp theo hãy chứng minh rằng hợp $B$ của tất cả các tập hợp $A$ thuộc về ít nhất một trong các phân hoạch $\varpi_n$ và sao cho $a \cdot \mu(A) \leq \int_A f d\mu$, là đo được và thỏa mãn $\mu(B) \leq a^{-1} \int f d\mu$. Sau đó xấp xỉ $f$ trong $L^1$ bằng một dãy các hàm liên tục.)

c) Chứng minh rằng mọi không gian compact mêtric được đều có tính chất nâng. (Cho $\mathfrak{U}$ là một siêu lọc trên $\mathbf{N}$ mịn hơn lọc Fréchet; chứng minh rằng $\rho(\tilde{f}) = \lim_{\mathfrak{U}} \rho_n(\tilde{f})$ là một phép nâng của $L^\infty$.)

d) Suy ra từ a) và c) rằng mọi không gian địa phương compact mêtric được đều có (với bất kỳ độ đo dương nào) tính chất nâng.