Exercice 18, § 2

a) Soient $T$ un espace localement compact, $(K_\alpha)$ un recouvrement localement fini de $T$ par des ensembles compacts. Soient $\mu$ une mesure positive sur $T$, $\mu_\alpha$ la mesure induite par $\mu$ sur $K_\alpha$. On suppose que chacun des espaces $L^\infty(K_\alpha, \mu_\alpha)$ possède la propriété de relèvement. Montrer que $L^\infty(T, \mu)$ possède la propriété de relèvement.

b) Soient $K$ un espace compact métrisable, $\mu$ une mesure positive sur $K$, $(\varpi_n)$ une suite fondamentale (chap. IV, § 5, exerc. 13) de partitions finies de $K$ en ensembles intégrables. Pour toute partie intégrable $A$ de $K$ et tout élément $\tilde{f} \in L^1(\mu)$, on pose $\lambda_A(\tilde{f}) = 0$ si $\mu(A) = 0$, et $\lambda_A(\tilde{f}) = (\mu(A))^{-1} \int_A f d\mu$ dans le cas contraire ; pour tout $n$, on pose $\rho_n(\tilde{f}) = \sum_k \lambda_{A_k}(\tilde{f}) \varphi_{A_k}$, si $\varpi_n = (A_k)$. Montrer que la suite $(\rho_n(\tilde{f}))$ de fonctions $\mu$-intégrables converge presque partout vers $f$. (Considérer d’abord le cas où $f$ est une fonction continue. Etant donné un nombre arbitraire $a > 0$, montrer ensuite que la réunion $B$ de tous les ensembles $A$ appartenant à une au moins des partitions $\varpi_n$ et tels que $a \cdot \mu(A) \leq \int_A f d\mu$, est mesurable et telle que $\mu(B) \leq a^{-1} \int f d\mu$. Approcher ensuite $f$ dans $L^1$ par une suite de fonctions continues.)

c) Montrer que tout espace compact métrisable possède la propriété de relèvement. (Soit $\mathscr{U}$ un ultrafiltre sur $\mathbf{N}$ plus fin que le filtre de Fréchet; montrer que $\rho(\tilde{f}) = \lim_{\mathscr{U}} \rho_n(\tilde{f})$ est un relèvement de $L^\infty$.)

d) Déduire de a) et c) que tout espace localement compact métrisable possède (pour une mesure positive quelconque) la propriété de relèvement.