Bài tập 20, § 2

Cho $F$ là một không gian Fréchet tách được, $F'$ là đối ngẫu của nó, $\mu$ là một độ đo dương trên $T$, $m$ là một độ đo trên $T$ với các giá trị trong đối ngẫu yếu $F'_s$, vô hướng có cơ sở $\mu$. Để $m$ trở thành

³ Theo Feuille d’errata No 14, bài tập này phải được loại bỏ.

có cơ sở $\mu$, điều kiện cần và đủ là điều kiện sau đây được thỏa mãn: với mọi $\varepsilon > 0$ và mọi tập con compact $K$ của $T$, tồn tại một tập con compact $K_1 \subset K$ sao cho $\mu(K - K_1) \leq \varepsilon$, và sao cho ảnh qua $m$ của tập hợp các hàm $\mu$-đo được $g$ bị chặn, có giá được chứa trong $K_1$ và thỏa mãn $\int |g| d\mu \leq 1$, là một tập con đẳng liên tục của $F'$. (Nhắc lại rằng $\int g dm \in F'$ với mọi hàm $\mu$-đo được $g$ bị chặn và có giá compact; xem Hệ quả 2 của Mệnh đề 3. Để chứng minh điều kiện là cần, dùng Mệnh đề 13 của §1, No. 5 và Mệnh đề 5 của §1, No. 2. Để thấy rằng điều kiện là đủ, trước hết xét trường hợp $T$ là compact; áp dụng Hệ quả 3 của Định lý 1, No. 5, trước hết chỉ ra rằng tồn tại một phân hoạch của $T$ thành một tập không đáng kể $N$ và một dãy $(K_n)$ các tập compact, và một ánh xạ đo được $g$ của $T$ vào $F'_s$, sao cho $\int f dm = \int gf d\mu$ với mọi hàm $f \in \mathscr{L}^\infty(\mu)$ bằng không trên phần bù của hợp của một số hữu hạn các tập $K_n$; để chứng minh rằng $m = g \cdot \mu$, dùng Bài tập 16 b) và 20 a) của Ch. V, §5. Cuối cùng, để chuyển sang trường hợp $T$ là một không gian compact địa phương bất kỳ, dùng Mệnh đề 14 của Ch. IV, §5, No. 9.)