Exercice 20, § 2

Soient $F$ un espace de Fréchet de type dénombrable, $F'$ son dual, $\mu$ une mesure positive sur $T$, $m$ une mesure sur $T$ à valeurs dans le dual faible $F'_s$, scalairement de base $\mu$. Pour que $m$ soit de base $\mu$, il faut et il suffit que la condition suivante soit remplie : pour tout $\varepsilon > 0$ et toute partie compacte $K$ de $T$, il existe une partie compacte $K_1 \subset K$ telle que $\mu(K - K_1) \leq \varepsilon$, et que l’image par $m$ de l’ensemble des fonctions $\mu$-mesurables $g$, bornées, de support contenu dans $K_1$ et vérifiant $\int |g| d\mu \leq 1$, soit une partie équicontinue de $F'$. (On se rappellera que $\int g d\mathbf{m} \in F'$ pour toute fonction $\mu$-mesurable $g$ bornée et à support compact ; cf. cor. 2 de la prop. 3. Pour montrer que la condition est nécessaire, utiliser la prop. 13 du § 1, no 5 et la prop. 5 du § 1, no 2. Pour voir que la condition est suffisante, considérer d’abord le cas où $T$ est compact ; en appliquant le cor. 3 du th. 1, no 5, montrer d’abord qu’il y a une partition de $T$ en un ensemble négligeable $N$ et en une suite $(K_n)$ d’ensembles compacts, et une application mesurable $g$ de $T$ dans $F'_s$, telles que $\int f d\mathbf{m} = \int g f d\mu$ pour toute fonction $f \in \mathscr{L}^\infty(\mu)$ nulle dans le complémentaire d’une réunion d’un nombre fini d’ensembles $K_n$; pour prouver que $\mathbf{m} = g . \mu$, utiliser les exerc. 18 b) et 22 a) du chap. V, § 5. Enfin, pour passer au cas où $T$ est un espace localement compact quelconque, utiliser la prop. 4 du chap. V, § 1, no 4.)