Bài tập 22, § 2

Cho $F$ là một không gian lồi địa phương Hausdorff, $\mathscr{G}$ là tập hợp các tập con của $F$ lồi, cân bằng và compact đối với $\sigma(F, F')$, và $\mathscr{G}'$ là tập hợp các tập con của $F'$ lồi, liên tục đều, cân bằng và compact đối với $\sigma(F', F'')$.

a) Giả sử rằng mọi tập hợp trong $\mathscr{G}$ đều là tiền compact đối với tôpô-$\mathscr{G}'$. Chứng minh rằng mọi ánh xạ tuyến tính liên tục $u$ của $F$ vào một không gian lồi địa phương Hausdorff, đầy đủ theo dãy Cauchy $G$, biến các tập con bị chặn của $F$ thành các tập con tương đối compact đối với $\sigma(G, G')$, biến mọi tập hợp thuộc $\mathscr{G}$ thành một tập con của $G$ tương đối compact đối với tôpô ban đầu. (Sử dụng Bài tập 4 của TVS, IV, §1 và Bài tập 11 ở trên.) Đảo lại (xét ánh xạ chính tắc của $F$ vào phần đầy đủ của nó đối với tôpô-$\mathscr{G}'$).

b) Giả sử rằng $F$ là một không gian mêtric hóa được, hoặc là một giới hạn trực tiếp ngặt của các không gian mêtric hóa được. Chứng minh rằng điều kiện của a) được thỏa mãn nếu mọi dãy Cauchy đối với $\sigma(F, F')$ là một dãy Cauchy đối với tôpô-$\mathscr{G}'$ (sử dụng định lý Šmulian (TVS, IV, §5, Bài tập 2 c)).

c) Giả sử $F$ là hạ-barrel (TVS, III, §4, Bài tập 7) và ký hiệu $\mathscr{G}''$ là tập hợp các tập con của $F''$ lồi, liên tục đều, cân bằng và compact đối với $\sigma(F'', F''')$. Chứng minh rằng nếu mọi tập hợp trong $\mathscr{G}'$ đều là tiền compact đối với tôpô-$\mathscr{G}''$, thì mọi tập hợp trong $\mathscr{G}$ đều là tiền compact đối với tôpô-$\mathscr{G}'$. (Sử dụng Bài tập 4 của TVS, IV, §1, và nhận xét rằng tôpô ban đầu của $F$ được cảm sinh bởi tôpô mạnh trên $F''$.)