Exercice 22, § 2

Soient $F$ un espace localement convexe séparé, $\mathfrak{S}$ l'ensemble des parties de $F$ convexes, équilibrées et compactes pour $\sigma(F, F')$, $\mathfrak{S}'$ l'ensemble des parties de $F'$ convexes, équicontinues, équilibrées et compactes pour $\sigma(F', F'')$.

a) On suppose que toute partie de $\mathfrak{S}$ est précompacte pour la $\mathfrak{S}'$-topologie. Montrer que toute application linéaire continue $u$ de $F$ dans un espace localement convexe séparé quasi-complet $G$, qui transforme les parties bornées de $F$ en parties relativement compactes pour $\sigma(G, G')$, transforme toute partie appartenant à $\mathfrak{S}$ en une partie relativement compacte de $G$ pour la topologie initiale. (Utiliser l'exerc. 12 de Esp. vect. top., chap. IV, § 1, et l'exerc. 11 ci-dessus.) Réciproque (considérer l'application canonique de $F$ dans son complété pour la $\mathfrak{S}'$-topologie).

b) On suppose que $F$ est un espace métrisable ou une limite inductive stricte d'espaces métrisables. Montrer que la condition de a) est remplie si toute suite de Cauchy pour $\sigma(F, F')$ est une suite de Cauchy pour la $\mathfrak{S}'$-topologie (utiliser le th. de Šmulian (Esp. vect. top., chap. IV, § 2, exerc. 13 c)).

c) On suppose $F$ infratonné (Esp. vect. top., chap. III, § 2, exerc. 12) et on désigne par $\mathfrak{S}''$ l'ensemble des parties de $F''$ convexes, équicontinues, équilibrées et compactes pour $\sigma(F'', F''')$. Montrer que, si toute partie de $\mathfrak{S}'$ est précompacte pour la $\mathfrak{S}''$-topologie, alors toute partie de $\mathfrak{S}$ est précompacte pour la $\mathfrak{S}'$-topologie. (Utiliser l'exerc. 12 de Esp. vect. top., chap. IV, § 1, et remarquer que la topologie initiale de $F$ est induite par la topologie forte sur $F''$.)