Bài tập 23, § 2

Cho T là một không gian compact địa phương, $\mu$ là một độ đo dương trên T, và F là một trong ba không gian Banach $\mathscr{K}(T)$, $L^1(\mu)$, $L^\infty(\mu)$. Cho u là một ánh xạ tuyến tính liên tục của F vào một không gian đầy đủ giả G, biến quả cầu đơn vị của F thành một tập con của G tương đối compact đối với $\sigma(G, G')$. Chứng minh rằng u biến mọi tập con của F tương đối compact đối với $\sigma(F, F')$ thành một tập con của G tương đối compact đối với tôpô ban đầu. (Áp dụng Bài tập 22 c) để rút gọn trường hợp $F = L^1(\mu)$ về trường hợp $F = L^\infty(\mu)$; dùng Bài tập 13 của Ch. II, §1 để rút gọn trường hợp $L^\infty(\mu)$ về trường hợp $F = \mathscr{C}(S)$, trong đó S là một không gian compact thích hợp. Nếu $F = \mathscr{K}(T)$, áp dụng Bài tập 22 b), rồi dùng các Bài tập 22 b) và 15 của Ch. V, §5; chú ý rằng một dãy Cauchy đối với $\sigma(F, F')$ hội tụ điểm một trên T, và a fortiori hội tụ theo độ đo đối với mọi độ đo bị chặn trên T.)