Exercice 23, § 2

Soient $T$ un espace localement compact, $\mu$ une mesure positive sur $T$, $F$ l'un des trois espaces de Banach $\overline{\mathscr{K}(T)}$, $L^1(\mu)$, $L^\infty(\mu)$. Soit $u$ une application linéaire continue de F dans un espace quasi-complet G, qui transforme la boule unité de F en une partie relativement compacte de G pour $\sigma(G, G')$. Montrer que u transforme toute partie de F relativement compacte pour $\sigma(F, F')$ en une partie de G relativement compacte pour la topologie initiale. (Appliquer l’exerc. 22 c) pour ramener le cas $F = L^1(\mu)$ au cas $F = L^\infty(\mu)$; utiliser l’exerc. 13 du chap. II, § 1 pour ramener le cas $F = L^\infty(\mu)$ au cas $F = C(S)$ où S est un espace compact convenable. Si $F = \overline{\mathscr{K}(T)}$, appliquer l’exerc. 22 b), puis utiliser les exerc. 24 b) et 17 du chap. V, § 5; on notera qu’une suite de Cauchy pour $\sigma(F, F')$ converge simplement dans T, et a fortiori converge en mesure pour toute mesure bornée sur T.)