Bài tập 24, § 2

Cho $\mu$ là một độ đo dương trên T, u là một ánh xạ tuyến tính của $L^1(\mu)$ vào một không gian Banach F, biến quả cầu đơn vị của $L^1(\mu)$ thành một tập con của F tương đối compact đối với $\sigma(F, F')$. Chứng minh rằng tồn tại một ánh xạ đo được $\mu$ của T vào F sao cho $|f(t)| \leq \|u\|$ với mọi $t \in T$ và sao cho

với mọi hàm $g \in \overline{\mathscr{L}}^1(\mu)$ (định lý Dunford–Pettis–Phillips). (Trước hết rút gọn về trường hợp T compact, với sự trợ giúp của Mệnh đề 14 của Ch. IV, §5, No. 9. Quả cầu đơn vị B của $L^\infty(\mu) \subset L^1(\mu)$ khi đó tương đối compact đối với $\sigma(L^1, L^\infty)$ (Ch. V, §5, Bài tập 15); dùng Bài tập 23, chứng minh rằng không gian con tuyến tính đóng của F sinh bởi $u(L^1)$ là tách được. Do đó có thể rút gọn về trường hợp F là tách được và $u(L^1) = F$. Bao đóng A trong F của ảnh qua u của quả cầu đơn vị của $L^1$ khi đó là compact đối với $\sigma(F, F')$ (Ch. IV, §7, Bài tập 10); chứng minh rằng nó mêtric hóa được đối với tôpô này (TVS, III, §3, No. 4, Hệ quả 2 của Mệnh đề 6). Nhận xét rằng khi đó A có thể được đồng nhất với quả cầu đơn vị của đối ngẫu của không gian định chuẩn G thu được bằng cách trang bị cho $F'$ chuẩn bằng gauge của $A^\circ$. Chứng minh rằng G là tách được, và do đó rút gọn về việc áp dụng định lý Dunford–Pettis (Hệ quả 2 của Định lý 1).)