Exercice 24, § 2

Soient $\mu$ une mesure positive sur T, u une application linéaire de $L^1(\mu)$ dans un espace de Banach F, transformant la boule unité de $L^1(\mu)$ en une partie relativement compacte de F pour $\sigma(F, F')$. Montrer qu’il existe une application $\mu$-mesurable f de T dans F, telle que $|f(t)| \leq \|u\|$ pour tout $t \in T$ et que l’on ait

pour toute fonction $g \in \overline{L^1(\mu)}$ (théorème de Dunford-Pettis-Phillips). (Se ramener d’abord au cas où T est compact à l’aide de la prop. 4 du chap. V, § 1, no 4. La boule unité B de $L^\infty(\mu) \subset L^1(\mu)$ est alors relativement compacte pour $\sigma(L^1, L^\infty)$ (chap. V, § 5, exerc. 17); en utilisant l’exerc. 23, montrer que le sous-espace vectoriel fermé de F engendré par $u(L^1)$ est de type dénombrable. On peut donc se ramener au cas où F est de type dénombrable et où $\overline{u(L^1)} = F$. L’adhérence A dans F de l’image par u de la boule unité de $L^1$ est alors compacte pour $\sigma(F, F')$ (chap. IV, § 4, exerc. 19); montrer qu’elle est métrisable pour cette topologie (Esp. vect. top., chap. IV, § 2, no 2, cor. de la prop. 3). Remarquer que A s’identifie alors à la boule unité du dual de l’espace normé G obtenu en munissant $F'$ de la norme égale à la jauge de $A^0$. Montrer que G est de type dénombrable, et se ramener ainsi à appliquer le th. de Dunford-Pettis (cor. 2 du th. 1)).