Bài tập 26, § 2

Cho S, T là hai không gian compact, f là một hàm số hữu hạn xác định trên S × T.

a) Để ánh xạ s ↦ f(s, ·) của S vào $\mathbf{R}^T$ là một ánh xạ liên tục của S vào không gian $\mathscr{C}(T)$ được trang bị tôpô $\sigma(\mathscr{C}(T), \mathscr{M}(T))$, điều kiện cần và đủ là f bị chặn và mỗi ánh xạ riêng phần $f(s, \cdot), f(\cdot, t)$ ($s \in S, t \in T$) đều liên tục. (Để thấy điều kiện là đủ, trước hết chứng minh rằng ảnh M của S qua $s \mapsto f(s, \cdot)$ là compact đối với $\sigma(\mathscr{C}(T), \mathscr{M}(T))$. Vì vậy, nhận xét rằng $s \mapsto f(s, \cdot)$ là liên tục khi $\mathscr{C}(T)$ được trang bị tôpô hội tụ điểm một trên T; dùng định lý Eberlein (TVS, IV, §5, No. 3, Định lý 1) để rút gọn về việc chứng minh rằng mọi dãy $(f(s_n, \cdot))$ có một điểm tụ trong $\mathscr{C}(T)$ đối với $\sigma(\mathscr{C}(T), \mathscr{M}(T))$. Rút gọn về trường hợp T mêtric hóa được, bằng cách xét một không gian thương thích hợp của T (xem Bài tập 10 a)), và nhận xét rằng, trên một tập con của $\mathscr{C}(T)$ tương đối compact đối với tôpô hội tụ điểm một trên T, tôpô này đồng nhất với tôpô hội tụ điểm một trên một tập con trù mật của T. Thu được do đó một dãy con của $(f(s_n, \cdot))$ hội tụ điểm một trên T, và áp dụng định lý Lebesgue. Cuối cùng, nhận xét rằng trên M, tôpô $\sigma(\mathscr{C}(T), \mathscr{M}(T))$ và tôpô hội tụ điểm một là đồng nhất.)

b) Giả sử rằng mỗi ánh xạ từng phần $f(s, \cdot), f(\cdot, t)$ là liên tục ($s \in S, t \in T$). Chứng minh rằng với mọi độ đo dương $\mu$ trên S và mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một tập con compact $K \subset S$ sao cho $\mu(S - K) \leq \varepsilon$ và hạn chế của f lên $K \times T$ là liên tục. (Rút gọn về trường hợp f bị chặn; áp dụng a) và Bài tập 25 c).)

c) Với cùng các giả thiết như trong b), chứng minh rằng f là đo được đối với mọi độ đo $\nu$ trên $S \times T$. (Áp dụng b) cho ảnh của $\nu$ qua phép chiếu của $S \times T$ lên S.)