Exercice 26, § 2

Soient S, T deux espaces compacts, f une fonction numérique finie définie dans S × T.

a) Pour que l’application s → f(s, .) de S dans $\mathbf{R}^T$ soit une application continue de S dans l’espace $C(T)$ muni de la topologie $\sigma(C(T), \mathscr{M}(T))$, il faut et il suffit que f soit bornée et que chacune des applications partielles $f(s, .), f(., t)$ ($s \in S, t \in T$) soit continue. (Pour voir que la condition est suffisante, montrer d’abord que l’image M de S par $s \rightarrow f(s, .)$ est compacte pour $\sigma(C(T), \mathscr{M}(T))$. Pour cela, remarquer que $s \rightarrow f(s, .)$ est continue lorsque $C(T)$ est muni de la topologie de la convergence simple dans T ; utiliser le th. d’Eberlein (Esp. vect. top., chap. IV, § 2, exerc. 15) pour se ramener à prouver que toute suite $(f(s_n, .))$ a une valeur d’adhérence dans $C(T)$ pour $\sigma(C(T), \mathscr{M}(T))$. Se ramener au cas où T est métrisable, en considérant un espace quotient convenable de T (cf. exerc. 10 a)), et remarquer que, sur une partie de $C(T)$ relativement compacte pour la topologie de la convergence simple dans T, cette topologie est identique à la topologie de la convergence simple dans une partie partout dense de T. Obtenir ainsi une suite extraite de $(f(s_n, .))$ qui converge simplement dans T, et appliquer le th. de Lebesgue. Enfin, remarquer que sur M la topologie $\sigma(C(T), \mathscr{M}(T))$ et la topologie de la convergence simple sont identiques.)

b) On suppose que chacune des applications partielles $f(s, .), f(., t)$ soit continue ($s \in S, t \in T$). Montrer que, pour toute mesure positive μ sur S et tout $\varepsilon > 0$, il existe une partie compacte K ⊂ S telle que $\mu(S - K) \leq \varepsilon$ et que la restriction de f à K × T soit continue. (Se ramener au cas où f est bornée ; appliquer a) et l’exerc. 25 c).)

c) Les hypothèses étant les mêmes que dans b), montrer que f est mesurable pour toute mesure ν sur S × T. (Appliquer b) à l’image de ν par la projection de S × T sur S.)