Bài tập 6, § 2

Cho F là một không gian lồi địa phương nửa phản xạ, được trang bị một cấu trúc đại số trên $\mathbf{R}$, sao cho ánh xạ $(u, v) \mapsto uv$ của $F \times F$ vào F là liên tục riêng. Cho m là một độ đo trên T, nhận giá trị trong F, sao cho $m(fg) = m(f)m(g)$ đối với f và g thuộc $\mathscr{H}(T)$. Chứng minh rằng nếu các hàm số f, g sao cho f, g, và fg thuộc $\mathscr{L}(m)$, thì $\int fg\, dm = (\int f\, dm)(\int g\, dm)$. (Trước hết xét trường hợp $g \in \mathscr{H}(T)$, bằng cách xét hai độ đo $f \mapsto m(fg)$ và $f \mapsto m(f)m(g)$; chuyển sang trường hợp tổng quát bằng cách tiến hành tương tự và sử dụng Bài tập 5.) Trường hợp trong đó $F = \mathscr{L}(G)$, G là phản xạ và F được trang bị tôpô hội tụ điểm hoặc tôpô hội tụ điểm yếu.