Exercice 6, § 2

Soient F un espace localement convexe semi-réflexif, muni d'une structure d'algèbre sur R telle que l'application (u, v) \to uv de F × F dans F soit séparément continue. Soit m une mesure sur T, à valeurs dans F, telle que $m(fg) = m(f)m(g)$ pour $f$ et $g$ dans $\mathscr{J}_i(T)$. Montrer que si les fonctions numériques $f, g$ sont telles que $f, g$ et $fg$ appartiennent à $\mathscr{T}(m)$, on a $\int fg dm = (\int f dm)(\int g dm)$. (Traiter d’abord le cas où $g \in \mathscr{J}_i(T)$ en considérant les deux mesures $f \to m(fg)$ et $f \to m(f)m(g)$; passer au cas général en procédant de même et utilisant l’exerc. 5). Cas où $F = \mathfrak{L}(G)$, G étant réflexif et F muni de la topologie de la convergence simple ou de la topologie de la convergence simple faible.