Bài tập 14, § 1

Cho $T$ là một không gian địa phương compact, $\mathscr{U}$ là một cấu trúc đều trên $T$ sao cho tồn tại một lân cận $V_0$ có tính chất rằng $V_0(t)$ là compact với mọi $t \in T$ (GT, II, §4, Bài tập 9). Mặt khác, cho $\Gamma$ là một nhóm đồng liên tục đều các phép đồng phôi của $T$ (đối với cấu trúc đều $\mathscr{U}$), sao cho tồn tại một $a \in T$ mà quỹ đạo của nó dưới tác động của $\Gamma$ là trù mật. Chứng minh rằng tồn tại trên $T$ một độ đo dương $\neq 0$ bất biến dưới $\Gamma$, và độ đo này là duy nhất sai khác một nhân tử hằng. Có thể tiến hành như sau:

$1^\circ$ Đối với sự tồn tại của độ đo bất biến, theo phương pháp của No. 2, Đl. 1; trước hết chứng minh rằng nếu $K$ là một tập con compact của $T$ và $U$ là một lân cận mở của $a$, thì tồn tại một số hữu hạn các phần tử $\sigma_i \in \Gamma$ sao cho $K \subset \bigcup_i \sigma_i(U)$.

$2^\circ$ Đối với tính duy nhất, trước hết nhận xét rằng các lân cận của $\mathscr{U}$ bất biến dưới mọi phép đồng phôi $\sigma \times \sigma$ của $T \times T$, với $\sigma \in \Gamma$, tạo thành một hệ cơ sở các lân cận $\mathscr{S}$. Với mọi tập hợp tương đối compact $A \subset T$ và mọi tập hợp tương đối compact $B \subset T$ có phần trong khác rỗng, gọi $(A : B)$ là số nhỏ nhất các phần tử của một phủ của $A$ bởi các tập hợp có dạng $\sigma B$, trong đó $\sigma \in \Gamma$; nếu $C \subset T$ là một tập hợp tương đối compact thứ ba có phần trong khác rỗng, thì $(A : C) \leq (A : B)(B : C)$. Cho $K$ là một tập con compact của $T$, $L \supset K$ là một tập mở tương đối compact, $V \in \mathscr{S}$ là một lân cận mở đối xứng được chứa trong $V_0$ sao cho $V(K) \subset L$, và $W \in \mathscr{S}$ là một lân cận đóng đối xứng được chứa trong $V$. Với mọi lân cận đối xứng $U \in \mathscr{S}$ sao cho $UW \subset V$ và $WU \subset V$, chứng minh rằng, với mọi độ đo dương $\nu$ trên $T$ bất biến dưới $\Gamma$,

(1)

(2)

Để chứng minh điều này, ta chứng minh rằng nếu $(\sigma_i(U(a)))$ là một phủ của $L$ được tạo thành bởi $(L : U(a))$ tập hợp, thì mọi $x \in K$ thuộc về ít nhất $(W(a) : U(a))$ tập hợp có dạng $\sigma_i(V(a))$, và mọi $y \in L$ thuộc về nhiều nhất $(V(a) : U(a))$ tập hợp có dạng $\sigma_i(W(a))$ (chú ý rằng nếu $y \in \sigma_i(W(a))$, thì $\sigma_i(U(a))$ được chứa trong $V(x)$).

Cho $\mathscr{F}$ là một siêu lọc mịn hơn lọc tiết diện của $\mathscr{S}$; cho $A_0$ là một tập hợp mở khác rỗng, tương đối compact trong $T$, và đặt $\lambda_U(A) = (A : U(a))/(A_0 : U(a))$ với mọi lân cận đối xứng $U \in \mathscr{S}$ và mọi tập con tương đối compact $A$ của $T$. Cho $\lambda(A) = \lim_{\mathscr{F}} \lambda_U(A)$; với mọi tập con compact $K$ của $T$, đặt $\lambda'(K) = \inf \lambda(B)$, trong đó $B$ chạy trên tập hợp các lân cận mở tương đối compact của $K$. Suy ra từ (1) và (2) rằng

Kết luận từ điều này rằng nếu $K_1, K_2$ là hai tập con compact của $T$, và $L_1 \supset K_1$, $L_2 \supset K_2$ là hai tập mở tương đối compact, thì

và cuối cùng rằng $\lambda'(K_1)\nu(K_2) = \lambda'(K_2)\nu(K_1)$.