Exercice 14, § 1

Soient T un espace localement compact, $\mathscr{U}$ une structure uniforme sur T pour laquelle il existe un entourage $V_0$ tel que $V_0(t)$ soit compact pour tout $t \in T$ (Top. gén., chap. II, 3e éd., § 4, exerc. 9). Soit d'autre part $\Gamma$ un groupe uniformément équicontinu d'homéomorphismes de T (pour la structure uniforme $\mathscr{U}$), tel qu'il existe $a \in T$ dont l'orbite par $\Gamma$ soit partout dense. Montrer qu'il existe sur T une mesure positive $\neq 0$ invariante par $\Gamma$, et que cette mesure est unique à un facteur constant près. On pourra procéder comme suit :

1° En ce qui concerne l'existence de la mesure invariante, suivre la méthode du n° 2, th. 1 ; on prouvera d'abord que si K est une partie compacte de T et U un voisinage ouvert de $a$, il existe un nombre fini d'éléments $\sigma_i \in \Gamma$ tels que $K \subset \bigcup_i \sigma_i(U)$.

2° En ce qui concerne l'unicité, remarquer d'abord que les entourages de $\mathscr{U}$ qui sont invariants par tout homéomorphisme $\sigma \times \sigma$ de $T \times T$, pour $\sigma \in \Gamma$, forment un système fondamental d'entourages $\mathscr{S}$. Pour tout ensemble relativement compact $A \subset T$ et tout ensemble relativement compact $B \subset T$ d'intérieur non vide, soit $(A : B)$ le plus petit nombre d'éléments d'un recouvrement de A formé d'ensembles de la forme $\sigma B$, où $\sigma \in \Gamma$; si $C \subset T$ est un troisième ensemble relativement compact d'intérieur non vide, on a $(A : C) \leq (A : B)(B : C)$. Soient K une partie compacte de T, $L \supset K$ un ensemble ouvert relativement compact, $V \in \mathscr{G}$ un entourage ouvert symétrique contenu dans $V_0$ et tel que $V(K) \subset L$, $W \in \mathscr{G}$ un entourage fermé symétrique contenu dans $V$. Pour tout entourage symétrique $U \in \mathscr{G}$ tel que $UW \subset V$ et $WU \subset V$, montrer que, pour toute mesure positive $\nu$ sur $T$, invariante par $\Gamma$, on a

(1)

(2)

On prouvera pour cela que si $(\sigma_i(U(a)))$ est un recouvrement de $L$ formé de $(L : U(a))$ ensembles, tout $x \in K$ appartient à au moins $(W(a) : U(a))$ ensembles de la forme $\sigma_i(V(a))$, et que tout $y \in L$ appartient au plus à $(V(a) : U(a))$ ensembles de la forme $\sigma_i(W(a))$ (noter que si $y \in \sigma_i(W(a))$, $\sigma_i(U(a))$ est contenu dans $V(x)$).

Soit $\mathscr{F}$ un ultrafiltre plus fin que le filtre des sections de $\mathscr{G}$; soit $A_0$ une partie ouverte relativement compacte non vide de $T$, et posons $\lambda_U(A) = (A : U(a))/(A_0 : U(a))$ pour tout entourage symétrique $U \in \mathscr{G}$ et toute partie relativement compacte $A$ de $T$. Soit $\lambda(A) = \lim_{\mathscr{F}} \lambda_U(A)$; pour toute partie compacte $K$ de $T$, posons $\lambda'(K) = \inf \lambda(B)$, lorsque $B$ parcourt l’ensemble des voisinages ouverts relativement compacts de $K$. Déduire de (1) et (2) que l’on a

En conclure que si $K_1, K_2$ sont deux parties compactes de $T$, $L_1 \supset K_1, L_2 \supset K_2$ deux ensembles ouverts relativement compacts, on a

et finalement que $\lambda'(K_1)\nu(K_2) = \lambda'(K_2)\nu(K_1)$.