Bài tập 17, § 1

Cho $T$ là một không gian địa phương compact, $S$ là một tập con của $T$ được trang bị một luật hợp thành $(x, y) \mapsto xy$ làm cho nó thành một nửa nhóm đơn vị$^1$ (không nhất thiết tiên nghiệm có một phần tử trung hòa), và luật này liên tục trên $S \times S$ khi $S$ được trang bị tôpô

$^1$ Monoïde, như được định nghĩa trong các ấn bản đầu của Alg., Ch. I, không đòi hỏi có một phần tử trung hòa, trái với điều đó trong ấn bản đóng của Algèbre; điều được hiểu ở đây là một magma kết hợp (A, I, §1, No. 3, Định nghĩa 5).

cảm sinh bởi tôpô của $T$. Giả sử thêm rằng mọi phần tử của $S$ đều giản ước được² (A, I, §2, No. 2). Cho $\mu$ là một độ đo dương bị chặn trên $T$, tập trung trên $S$ (sao cho $S$ là $\mu$-đo được) và có khối lượng toàn phần bằng 1. Giả sử rằng $\mu$ là bất biến trái theo nghĩa sau: với mọi hàm số $f$ xác định trên $S$, liên tục và bị chặn (do đó $\mu$-đo được theo Ch. IV, §5, No. 5, Hệ quả của Mệnh đề 8), ta có $\int f(sx)\, d\mu(x) = \int f(x)d\mu(x)$ với mọi $s \in S$. Điều này tương đương với việc nói rằng $\mu(sK) = \mu(K)$ với mọi tập con compact K của $S$.

a) Xét độ đo tích $\mu \otimes \mu$ trên $T \times T$; hãy chứng minh rằng tồn tại các tập con compact K của $S$ sao cho ảnh của $K \times K$ qua hai ánh xạ liên tục $(x, y) \mapsto (x, xy)$ và $(x, y) \mapsto (xy, x)$ có độ đo tùy ý gần 1 (sử dụng định lý Lebesgue–Fubini). Kết luận từ đó rằng các ảnh này có một điểm chung, và suy ra rằng $S$ có một phần tử trung hòa (xem A, I, §2, Bài tập 9).

b) Hãy chứng minh rằng $S$ là một nhóm compact. (Trước hết chứng minh rằng với mọi $x \in S$, độ đo nội $\mu_*(xS)$ bằng 1, do đó $xS$ là đo được và độ đo tập trung trên $xS$; khi đó $xS$ là một nửa nhóm đơn vị có thể áp dụng kết quả của a), điều này cho thấy $S$ là một nhóm. Lập luận như trong Mệnh đề 2 để chứng minh rằng $S$ là compact. Cuối cùng, sử dụng Bài tập 21 của GT, III, §4.³)