Exercice 17, § 1

Soient T un espace localement compact, S une partie de T munie d’une loi de composition $(x, y) \to xy$ qui en fait un monoïde (n’ayant pas nécessairement $a$ priori d’élément neutre), et qui est continue dans $S \times S$ lorsque S est muni de la topologie induite par celle de T. On suppose en outre que tout élément de S est régulier (Alg., chap. I, § 2, no 2). Soit $\mu$ une mesure positive bornée sur T, concentrée sur S (de sorte que S est $\mu$-mesurable) et de masse totale 1. On suppose $\mu$ invariante à gauche au sens suivant : pour toute fonction numérique $f$ définie dans S, continue et bornée (donc $\mu$-mesurable en vertu du chap. IV, § 5, no 5, prop. 9), on a $\int f(sx)d\mu(x) = \int f(x)d\mu(x)$ pour tout $s \in S$. Il revient au même de dire que pour toute partie compacte K de S, on a $\mu(sK) = \mu(K)$.

a) On considère sur $T \times T$ la mesure produit $\mu \otimes \mu$; montrer qu’il existe des parties compactes K de S telles que les images de $K \times K$ par les deux applications continues $(x, y) \to (x, xy)$ et $(x, y) \to (xy, x)$ aient une mesure arbitrairement voisine de 1 (utiliser le th. de Lebesgue-Fubini). En conclure que ces images ont un point commun, et déduire de là que S possède un élément neutre (cf. Alg., chap. I, § 2, exerc. 9).

b) Montrer que S est un groupe compact. (Pour tout $x \in S$, prouver d’abord que la mesure intérieure $\mu_*(xS)$ est égale à 1, donc que $xS$ est mesurable et que la mesure est concentrée sur $xS$; $xS$ est alors un monoïde auquel on peut appliquer le résultat de a), ce qui montre que S est un groupe. Raisonner comme dans la prop. 2 pour prouver que S est compact. Enfin, utiliser l’exerc. 21 de Top. gén., chap. III, 3e éd., § 4).