Bài tập 18, § 1

Cho X là một không gian compact địa phương, G là một nhóm compact tác động liên tục trên X, E là quỹ đạo của một điểm của X, và $\mathscr{F}$ là một không gian vectơ của các hàm số liên tục nhận giá trị số trên X sao cho, với mọi hàm $f \in \mathscr{F}$ và mọi $s \in G$, ta có $\gamma(s)f \in \mathscr{F}$; giả sử thêm rằng $\mathscr{F}$ chứa các hàm hằng trên X. Cho $x_0 \in X$ là một điểm bất biến dưới tác động của G và sao cho $|f(x_0)| \leq \sup_{y \in E} |f(y)|$ đối với mọi hàm $f \in \mathscr{F}$. Chứng minh rằng khi đó ta có $f(x_0) = \int_G f(s \cdot z)\, ds$ với mọi $z \in E$ và mọi $f \in \mathscr{F}$. (Chứng minh rằng tồn tại một độ đo dương $\nu$ trên E, có khối lượng toàn phần bằng 1, sao cho $f(x_0) = \int_E f(z)\, d\nu(z)$ đối với mọi $f \in \mathscr{F}$, và áp dụng định lý Lebesgue–Fubini.) Trường hợp $X = \mathbf{R}^n$, G là nhóm trực giao, và $x_0 = 0$; áp dụng công thức (7) của §2.