Exercice 18, § 1

Soient X un espace localement compact, G un groupe compact opérant continûment dans X, E l’orbite d’un point de X, $\mathscr{F}$ un espace vectoriel de fonctions numériques continues dans X, tel que, pour toute fonction $f \in \mathscr{F}$ et tout $s \in G$, on ait $\gamma(s)f \in \mathscr{F}$; on suppose en outre que $\mathscr{F}$ contienne les fonctions constantes dans X. Soit $x_0 \in X$ un point invariant par G et tel que l’on ait $|f(x_0)| \leq \sup_{y \in E} |f(y)|$ pour toute fonction $f \in \mathscr{F}$. Montrer alors que l’on a $f(x_0) = \int_G f(s.z)ds$ pour tout $z \in E$ et toute $f \in \mathscr{F}$. (Montrer qu’il existe une mesure positive $\nu$ sur E, de masse totale 1, telle que $f(x_0) = \int_E f(z)d\nu(z)$ pour toute $f \in \mathscr{F}$ et appliquer le th. de Lebesgue-Fubini). Cas où $X = \mathbf{R}^n$, G est le groupe orthogonal, et $x_0 = 0$; appliquer la formule (7) du § 2.