Bài tập 19, § 1

Cho X là một không gian compact, A là một đại số định chuẩn trên $\mathbf{R}$ với phần tử đơn vị, và G là một nhóm compact; giả sử rằng G tác động liên tục lên A và lên X và rằng, với mọi $s \in G$, $a \mapsto s \cdot a$ là một tự đẳng cấu của đại số A sao cho $\|s \cdot a\| = \|a\|$ với mọi $a \in A$. Một ánh xạ $f$ từ X vào A được gọi là hiệp biến dưới tác động của G nếu

với mọi $s \in G$ và $x \in X$. Cho B là một vành con của $A^X$ gồm các hàm liên tục hiệp biến và chứa tất cả các ánh xạ liên tục hiệp biến từ X vào $\mathbf{R}$ ($\mathbf{R}$ được đồng nhất với một đại số con của A; ta nhận thấy rằng đối với một ánh xạ như vậy $g$, $g(s \cdot x) = g(x)$ với mọi $s \in G$ và $x \in X$). Cho $f$ là một ánh xạ liên tục hiệp biến từ X vào A, và giả sử rằng với mọi $y \in X$, tồn tại một ánh xạ $g_y \in B$ sao cho $f(y) = g_y(y)$. Khi đó, với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một ánh xạ $g \in B$ sao cho $\|f(x) - g(x)\| \leq \varepsilon$ với mọi $x \in X$. (Hãy sử dụng một phân hoạch đơn vị liên tục thích hợp $(\varphi_i)$ trên X và đưa vào các hàm $h_i$ sao cho $h_i(x) = \int_G \varphi_i(s \cdot x)\, ds$.)