Exercice 19, § 1

Soient X un espace compact, A une algèbre normée sur $\mathbf{R}$, ayant un élément unité, G un groupe compact ; on suppose que G opère continûment dans A et dans X et que, pour tout $s \in G$, $a \to s.a$ est un automorphisme de l’algèbre A tel que $\|s.a\| = \|a\|$ pour tout $a \in A$. On dit qu’une application $f$ de X dans A est covariante par G si

pour tout $s \in G$ et tout $x \in X$. Soit B un sous-anneau de $A^X$ formé de fonctions continues covariantes et contenant toutes les applications continues covariantes de X dans $\mathbf{R}$ ($\mathbf{R}$ étant identifié à une sous-algèbre de A ; on notera que pour une telle application g, on a $g(s.x) = g(x)$ pour tout $s \in G$ et tout $x \in X$). Soit $f$ une application continue covariante de X dans A, et supposons que, pour tout $y \in X$, il existe une application $g_y \in B$ telle que $f(y) = g_y(y)$. Alors, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe une application $g \in B$ telle que $\|f(x) - g(x)\| \leq \varepsilon$ pour tout $x \in X$. (Utiliser une partition continue de l’unité convenable $(\varphi_i)$ sur X et introduire les fonctions $h_i$ telles que $h_i(x) = \int_G \varphi_i(s.x)ds$).