Bài tập 23, § 1

Cho $G$ là một nhóm abel compact địa phương, được viết theo phép cộng, $\mu$ là một độ đo Haar trên $G$, và $A, B$ là hai tập con khả tích của $G$.

⁴Bị lược bỏ khỏi ấn bản thứ hai, bổ đề này khẳng định rằng nếu $f, g$ là các hàm số có giá trị số $\geq 0$ với $g$ đo được, thì $\int^* fg d\mu = \inf \int^* \varphi g d\mu$ khi $\varphi$ chạy trên tập hợp các hàm đo được $\geq f$.

a) Với mọi $s \in G$, đặt

Chứng minh rằng $\mu(A') + \mu(B') = \mu(A) + \mu(B)$ và $A' + B' \subset A + B$.

b) Giả sử rằng 0 thuộc về $A \cap B$. Một cặp $(A', B')$ gồm các tập con khả tích của $G$ được gọi là được dẫn xuất từ $(A, B)$ nếu tồn tại một dãy $(s_k)_{1 \leq k \leq n}$ gồm các phần tử của $G$ và hai dãy $(A_k)_{0 \leq k \leq n}, (B_k)_{0 \leq k \leq n}$ gồm các tập con của $G$ sao cho $A_0 = A, B_0 = B, A_k = \sigma_{s_k}(A_{k-1}, B_{k-1}), B_k = \tau_{s_k}(A_{k-1}, B_{k-1})$ với $1 \leq k \leq n, s_k \in A_{k-1}$ với $1 \leq k \leq n$, và $A' = A_n, B' = B_n$. Chứng minh rằng tồn tại một dãy các cặp $(E_n, F_n)$ sao cho $E_0 = A, F_0 = B, (E_{n+1}, F_{n+1})$ được dẫn xuất từ $(E_n, F_n)$, và $\mu((E_n - s) \cap F_n) \geq \mu(F_{n+1}) - 2^{-n}$ với mọi $n$ và mọi $s \in E_n$. Đặt $E_\infty = \bigcup_n E_n, F_\infty = \bigcap_n F_n$. Chứng minh rằng với mọi $s \in E_\infty$,

c) Giả sử rằng $\mu(F_\infty) > 0$. Chứng minh rằng hàm

chỉ có thể nhận các giá trị 0 và $\mu(F_\infty)$, và tập hợp $C$ gồm các $s \in G$ sao cho $f(s) = \mu(F_\infty)$ là mở và đóng, thỏa mãn $\mu(C) = \mu(E_\infty)$, và là bao đóng của $E_\infty$ (dùng Bài tập 20 $a$) và b)). Mặt khác, gọi $D$ là tập hợp các $s \in F_\infty$ sao cho giao của $F_\infty$ với mọi lân cận của $s$ có độ đo $> 0$. Chứng minh rằng $\mu(D) = \mu(F_\infty)$ và rằng

từ đó, suy ra rằng $D$ được chứa trong nhóm con $H(C)$ được định nghĩa trong Bài tập 22, và rằng $H(C)$ là compact và mở trong $G$. Cuối cùng, chứng minh rằng $C + H(C) = C$, rằng $\mu(C) \geq \mu(A) + \mu(B) - \mu(H(C))$, và rằng $C \subset A + B$ (xét độ đo của $E_\infty \cap (c - F_\infty)$ với mọi $c \in C$).

d) Suy ra từ c) rằng, đối với hai tập hợp khả tích $A, B$ của $G$: hoặc $\mu_*(A + B) \geq \mu(A) + \mu(B)$; hoặc là tồn tại một nhóm con compact mở $H$ của $G$ sao cho $A + B$ chứa một lớp ghép của $H$, trong trường hợp đó $\mu_*(A + B) \geq \mu(A) + \mu(B) - \mu(H)$. Trường hợp $G$ liên thông.

¶ 24 a) Trong $\mathbf{R}$, cho $A$ (tương ứng $B$) là tập hợp các số $x$ mà khai triển nhị phân thực sự của chúng $x = x_0 + \sum_{i=1}^\infty x_i 2^{-i}$ ($x_0$ là một số nguyên, $x_i = 0$ hoặc $x_i = 1$ với $i \geq 1$) có tính chất là $x_i = 0$ với $i$ chẵn và $> 0$ (tương ứng $i$ lẻ). Chứng minh rằng, đối với độ đo Lebesgue, $A$ và $B$ có độ đo không nhưng $A + B = \mathbf{R}$.

b) Suy ra từ a) rằng tồn tại một cơ sở $H$ của $\mathbf{R}$ (trên $\mathbf{Q}$) được chứa trong $A \cup B$, do đó có độ đo không. Tập hợp $P_1$ gồm các số $rh$, trong đó $r \in \mathbf{Q}$ và $h \in H$, cũng có độ đo không.

c) Gọi $P_n$ là tập hợp các số thực có nhiều nhất $n$ tọa độ khác không đối với cơ sở $H$. Chứng minh rằng nếu $P_n$ có độ đo không và $P_{n+1}$ đo được, thì $P_{n+1}$ có độ đo không. (Cho $h_0 \in H$; trước hết chứng minh rằng tập hợp $S$ gồm các $x \in P_{n+1}$ mà tọa độ của nó đối với $h_0$ là $\neq 0$, có độ đo không. Dùng Bài tập 20, chứng minh rằng nếu $P_{n+1}$ không có độ đo không, thì tồn tại hai điểm phân biệt $x', x''$ của $P_{n+1} \cap \mathbf{C}S$ sao cho $(x' - x'')/h_0$ là hữu tỉ, và suy ra từ đó một mâu thuẫn.)

d) Suy ra từ a) và b) rằng tồn tại trong $\mathbf{R}$ hai tập hợp không đo được $C, D$ sao cho $C + D$ không đo được.

¶ 25) a) Cho $f$ là một hàm số dương nhận giá trị số được xác định trên $\mathbf{R}$, khả tích (đối với độ đo Lebesgue $\mu$ trên $\mathbf{R}$), bị chặn, và có giá đỡ compact. Đặt $\gamma = \sup_{t \in \mathbf{R}} f(t)$. Với mọi $w \in \mathbf{R}$, ký hiệu $U_f(w)$ là tập hợp các $t \in \mathbf{R}$ sao cho $f(t) \geq w$; đặt $\nu_f(w) = \mu^*(U_f(w))$. Chứng minh rằng với mọi $\alpha > 1$,

b) Cho $g$ là một hàm số thứ hai nhận giá trị số thỏa mãn cùng các điều kiện như $f$, và đặt $\delta = \sup_{t \in \mathbf{R}} g(t)$. Cho $h$ là hàm được xác định trên $\mathbf{R}^2$ bởi $h(u, v) = f(u) + g(v)$ nếu $f(u)g(v) \neq 0$, và $h(u, v) = 0$ trong trường hợp ngược lại; cuối cùng, đặt $k(t) = \sup_{u+v=t} h(u, v)$, sao cho $k$ là dương, khả tích, bị chặn, và có giá đỡ compact. Chứng minh rằng với mọi $\alpha > 1$,

(Chú ý rằng với $0 < w < 1$, ta có $U_k(\gamma w + \delta w) \supset U_f(\gamma w) + U_g(\delta w)$, và sử dụng a) và Bài tập 23 d).)

c) Cho $\mu_n$ là độ đo Lebesgue trên $\mathbf{R}^n$, A và B là hai tập con khả tích của $\mathbf{R}^n$. Chứng minh rằng (bất đẳng thức Brunn–Minkowski)

(Rút gọn về trường hợp A và B là compact. Sau đó lập luận bằng quy nạp trên $n$ sử dụng Bài tập 23 d), định lý Lebesgue–Fubini, bất đẳng thức đã chứng minh trong b), cũng như bất đẳng thức Hölder.)

¶ 26) Cho G là một nhóm compact địa phương, $\mu$ là một độ đo Haar trái trên G, $k$ là một số nguyên $\geq 1$, và A là một tập hợp khả tích. Chứng minh rằng với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một lân cận U của e trong G có tính chất sau: với mọi tập con hữu hạn S gồm $k$ phần tử trong U, tập hợp các $s \in G$ sao cho $sS \subset A$ có độ đo $\geq (1 - \varepsilon) \mu(A)$. (Rút gọn về trường hợp A là compact và lấy U sao cho

Với mọi tập con hữu hạn H của G, đặt $p(H) = \mathrm{Card}(H)$ và $q(H) = 1$ nếu $H \neq \varnothing$, $q(H) = 0$ nếu $H = \varnothing$; bằng cách tính các tích phân

chứng minh rằng nếu, với $h \leq k$, $M_h$ ký hiệu tập hợp các $s \in G$ sao cho $\mathrm{Card}(A \cap sS) = h$, thì

Từ đó, kết luận rằng $\sum_{h=1}^{k-1} h \mu(M_h) \leq k \varepsilon \cdot \mu(A)$.

27) Cho G là một nhóm tác động trên một tập hợp X. Một tập con P (tương ứng C) của X được gọi là một G-lấp đầy (tương ứng G-phủ) nếu, với mọi $s \neq e$ trong G, ta có $sP \cap P = \varnothing$ (tương ứng nếu $X = \bigcup_{s \in G} sC$). Người ta gọi là lát nền G một tập con P vừa là một G-lấp đầy vừa là một G-phủ.

a) Giả sử rằng X là compact địa phương, rằng G là đếm được, tác động liên tục trên X, và tồn tại một độ đo dương khác không $\mu$ trên X bất biến dưới G. Cho P và C là một G-lấp đầy và một G-phủ $\mu$-khả tích. Chứng minh rằng $\mu(C) \geq \mu(P)$. (Chú ý rằng $\mu(C) \geq \sum_{s \in G} \mu(C \cap sP)$.)

b) Giả sử thêm rằng tồn tại trên X một cấu trúc đều tương thích với tôpô của X và thừa nhận một hệ cơ bản $\mathscr{G}$ gồm các lân cận mở của đường chéo bất biến dưới G. Mặt khác, ký hiệu $\Delta(G)$ là cận dưới đúng của các số $\mu(C)$ với C chạy qua mọi phủ G khả tích của X. Cho V là một lân cận thuộc $\mathscr{G}$, và cho $a \in X$ là sao cho $\mu(V(a)) > \Delta(G)$; chứng minh rằng tồn tại một $s \in G$ sao cho $s \neq e$ và $(a, sa) \in V^{-1} \circ V$.

c) Giả sử rằng X là một nhóm compact địa phương, $\mu$ là một độ đo Haar trái, và G là một nhóm con đếm được của X, tác động bởi các phép tịnh tiến trái. Với cùng định nghĩa của $\Delta(G)$ như trong b), chứng minh rằng nếu A là một tập con khả tích của X sao cho $\mu(A) > \Delta(G)$, thì tồn tại $s \in G \cap AA^{-1}$ sao cho $s \neq e$. Trường hợp đặc biệt khi $X = \mathbf{R}^n$ và G là một nhóm con rời rạc hạng n của $\mathbf{R}^n$: khi đó $\Delta(G)$ bằng giá trị tuyệt đối của định thức của một cơ sở của G trên $\mathbf{Z}$ đối với cơ sở chính tắc của $\mathbf{R}^n$; nếu A là một tập lồi đóng đối xứng có phần trong khác rỗng$^5$ trong $\mathbf{R}^n$ sao cho $\mu(A) \geq 2^n \Delta(G)$, chứng minh rằng tồn tại một điểm của $A \cap G$ phân biệt với 0 (định lý Minkowski).

d) Với các giả thiết như trong a), cho f là một hàm $\geq 0$ và khả tích theo $\mu$ trên X. Chứng minh rằng tồn tại hai điểm $a, b$ của X sao cho $\mu(C) \sum_{s \in G} f(sa) \geq \int_X f(x) d\mu(x)$ và $\mu(P) \sum_{s \in G} f(sb) \leq \int_X f(x) d\mu(x)$. (Nhận xét rằng nếu g là một hàm khả tích $\geq 0$, E là một tập khả tích theo $\mu$ trong X, thì tồn tại một $c \in E$ sao cho $\int_E g(x) d\mu(x) \leq g(c)\mu(E)$, và một $c' \in E$ sao cho $\int_E g(x) d\mu(x) \geq g(c')\mu(E)$.)

¶ 28) Với các giả thiết như trong Bài tập 27 a), giả sử thêm rằng tồn tại một phép lát G khả tích theo $\mu$ F.

a) Với mọi hàm số khả tích theo $\mu$ $f \geq 0$ xác định trên X, đặt $\widetilde{f}(x) = \sum_{s \in G} f(sx)$, sao cho $\int_F \widetilde{f}(x) d\mu(x) = \int_X f(x) d\mu(x)$ (§ 2, No. 10, Mệnh đề 15). Cho $(f_i)_{1 \leq i \leq n}$ là một họ các hàm số $\geq 0$, khả tích theo $\mu$ trên X; với $i \neq j$ đặt

và cho $c_i = \sup_{x \in X} \widetilde{f}_i(x)$. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một cặp các chỉ số phân biệt $(i, j)$ sao cho

(5) Xem TVS II, §5, No. 2, Mệnh đề 3; một tập lồi đóng có phần trong khác rỗng được gọi là một vật lồi (corps convexe) trong ấn bản thứ nhất của Ch. II của Esp. vect. top. (§ 3, No. 2, Định nghĩa 4).

(Chặn tổng $\sum_{i \neq j} m_{ij}$ từ dưới, sử dụng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz.) Từ đó, suy ra rằng nếu $(A_i)_{1 \leq i \leq n}$ là một họ hữu hạn các phép lấp đầy G khả tích theo $\mu$, và nếu

thì tồn tại một cặp $(i, j)$ các chỉ số phân biệt và một $s \in G$ sao cho $\mu(A_i s \cap A_j) > 0$.

b) Nếu $G_0$ là một nhóm con của $G$ có chỉ số hữu hạn $(G : G_0) = h$, và nếu $(s_1, \ldots, s_h)$ là một hệ đại diện của các lớp ghép phải của $G_0$ trong $G$, thì $F_0 = \bigcup_{1 \leq i \leq h} s_i F$ là một lát $G_0$.

c) Trong $X = \mathbf{R}^n$, cho $A$ là một tập lồi đóng đối xứng có phần trong khác rỗng; cho $u_i : (x_j) \mapsto \sum_{j=1}^n c_{ij} x_j$ là $m$ dạng tuyến tính trên $X$, với các hệ số nguyên $c_{ij}$ ($m < n$). Chứng minh rằng với mọi số nguyên $p \geq 1$ và mọi số $r \geq 0$ sao cho $\mu(A) r^n \geq 2^n p^m$, tồn tại một điểm $x \in rA \cap \mathbf{Z}^n$ khác 0 và sao cho $u_i(x) \equiv 0 \pmod{p}$ với $1 \leq i \leq m$ (áp dụng định lý Minkowski (Bài tập 27 c)) cho nhóm con $G_0$ của $\mathbf{Z}^n$ tạo bởi các $z \in \mathbf{Z}^n$ sao cho $u_i(z) \equiv 0 \pmod{p}$ với $1 \leq i \leq m$, và sử dụng b)). Trường hợp đặc biệt khi $n = 2, m = 1$ và $A$ được xác định bởi $|x_1| \leq 1, |x_2| \leq 1$ (định lý Thue).

¶ 29) a) Cho $p$ là một số nguyên tố; tồn tại hai số nguyên $a, b$ sao cho $a^2 + b^2 + 1 \equiv 0 \pmod{p}$ (Đại số, Ch. V, ấn bản lần thứ 1, §11, No. 5, Hệ quả của Định lý 3). Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên $x_1, x_2, x_3, x_4$ không đồng thời bằng không sao cho $ax_1 + bx_2 \equiv x_3 \pmod{p}$, $bx_1 - ax_2 \equiv x_4 \pmod{p}$ và

(cùng phương pháp như trong Bài tập 28 c)). Chứng minh rằng $y$ chia hết cho $p$, và suy ra từ đó rằng $y = p$.

b) Suy ra từ a) rằng mọi số nguyên $n \geq 0$ là tổng của bốn bình phương (định lý Lagrange; sử dụng Đại số, Ch. IV, ấn bản lần thứ 1, §2, Bài tập 11).

30) Cho $G$ là một nhóm compact địa phương, $\mu$ là một độ đo Haar trái trên $G$, và $\nu$ là một độ đo bị chặn trên $G$. Giả sử rằng ánh xạ $s \mapsto \gamma(s)\nu$ từ $G$ vào không gian Banach $\mathscr{M}^1(G)$ là liên tục. Chứng minh rằng độ đo $\nu$ có cơ sở $\mu$. (Cho $A$ là một tập con compact $\mu$-không đáng kể của $G$. Lập luận như đối với Mệnh đề 11, chứng minh rằng $\nu(xA) = 0$ với $x$ chạy qua một tập trù mật của $G$. Từ đó, suy ra rằng $\nu(A) = 0$.)

Ngược lại, nếu $\nu$ có cơ sở $\mu$, thì ánh xạ $s \mapsto \gamma(s)\nu$ của $G$ vào $\mathscr{M}^1(G)$ là liên tục: xem Ch. VIII, §2, No. 5, Mệnh đề 8.