Exercice 23, § 1

Soient G un groupe commutatif localement compact, noté additivement, $\mu$ une mesure de Haar sur G, A, B deux parties intégrables de G.

a) Pour tout $s \in G$, soient

Montrer que l'on a $\mu(A') + \mu(B') = \mu(A) + \mu(B)$ et $A' + B' \subset A + B$.

b) On suppose que 0 appartient à $A \cap B$. On dit qu’un couple $(A', B')$ de parties intégrables de $G$ est dérivé de $(A, B)$ s’il existe une suite $(s_k)_{1 \leq k \leq n}$ d’éléments de $G$ et deux suites $(A_k)_{0 \leq k \leq n}, (B_k)_{0 \leq k \leq n}$ de parties de $G$ telles que $A_0 = A, B_0 = B, A_k = \sigma_{s_k}(A_{k-1}, B_{k-1}), B_k = \tau_{s_k}(A_{k-1}, B_{k-1})$ pour $1 \leq k \leq n$, $s_k \in A_{k-1}$ pour $1 \leq k \leq n$, et $A' = A_n, B' = B_n$. Montrer qu’il existe une suite de couples $(E_n, F_n)$ tels que $E_0 = A, F_0 = B$, que $(E_{n+1}, F_{n+1})$ soit dérivé de $(E_n, F_n)$ et que l’on ait $\mu((E_n - s) \cap F_n) \geq \mu(F_{n+1}) - 2^{-n}$ pour tout $n$ et tout $s \in E_n$. On pose $E_\infty = \bigcup_n E_n, F_\infty = \bigcap_n F_n$. Montrer que, pour tout $s \in E_\infty$, on a

c) On suppose que $\mu(F_\infty) > 0$. Montrer que la fonction

ne peut prendre que les valeurs 0 et $\mu(F_\infty)$ et que l’ensemble $C$ des $s \in G$ tels que $f(s) = \mu(F_\infty)$ est ouvert et fermé, tel que $\mu(C) = \mu(E_\infty)$, et est l’adhérence de $E_\infty$ (utiliser l’exerc. 20 a) et b)). Soit d’autre part $D$ l’ensemble des $s \in F_\infty$ tels que l’intersection de $F_\infty$ et de tout voisinage de $s$ soit de mesure $> 0$. Montrer que $\mu(D) = \mu(F_\infty)$ et que en déduire que $D$ est contenu dans le sous-groupe $H(C)$ défini dans l’exerc. 22, et que $H(C)$ est compact et ouvert dans $G$. Montrer enfin que $C + H(C) = C$, que $\mu(C) \geq \mu(A) + \mu(B) - \mu(H(C))$ et que $C \subset A + B$ (considérer la mesure de $E_\infty \cap (c - F_\infty)$ pour tout $c \in C$).

d) Déduire de c) que, pour deux parties intégrables $A, B$ de $G$ : ou bien on a $\mu_*(A + B) \geq \mu(A) + \mu(B)$; ou bien il existe un sous-groupe ouvert compact $H$ de $G$ tel que $A + B$ contienne une classe mod. $H$, et alors $\mu_*(A + B) \geq \mu(A) + \mu(B) - \mu(H)$. Cas où $G$ est connexe.