Bài tập 25, § 1

a) Cho $f$ là một hàm số số dương xác định trên $\mathbf{R}$, khả tích (đối với độ đo Lebesgue $\mu$ trên $\mathbf{R}$), bị chặn và có giá compact. Đặt $\gamma = \sup_{t \in \mathbf{R}} f(t)$. Với mọi $w \in \mathbf{R}$, ký hiệu $U_f(w)$ là tập hợp các $t \in \mathbf{R}$ sao cho $f(t) \geq w$; đặt $v_f(w) = \mu^*(U_f(w))$. Bây giờ chứng minh rằng với mọi $\alpha > 1$, ta có

b) Cho $g$ là một hàm số số thứ hai thỏa mãn cùng các điều kiện như $f$, và đặt $\delta = \sup_{t \in \mathbf{R}} g(t)$. Cho $h$ là hàm xác định trên $\mathbf{R}^2$ bởi $h(u, v) = f(u) + g(v)$ nếu $f(u)g(v) \neq 0$, và $h(u, v) = 0$ trong trường hợp ngược lại; cuối cùng, đặt $k(t) = \sup_{u+v=t} h(u, v)$, sao cho $k$ là dương, khả tích, bị chặn và có giá compact. Bây giờ chứng minh rằng, với mọi $\alpha > 1$, ta có

(Chú ý rằng với $0 < w < 1$, ta có $U_k(\gamma w + \delta w) \supset U_f(\gamma w) + U_g(\delta w)$ và sử dụng a) và Bài tập 23 d)).

c) Cho $\mu_n$ là độ đo Lebesgue trong $\mathbf{R}^n$, A, B là hai tập hợp khả tích của $\mathbf{R}^n$. Bây giờ chứng minh rằng ta có (“bất đẳng thức Brunn-Minkowski”)

(Rút gọn về trường hợp A và B là compact. Sau đó lập luận bằng quy nạp theo $n$ sử dụng Bài tập 23 d), Định lý Lebesgue-Fubini, bất đẳng thức đã chứng minh trong b), cũng như bất đẳng thức Hölder).