Exercice 25, § 1

Intégration, VII

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

a) Soit $f$ une fonction numérique positive définie dans $\mathbf{R}$ , intégrable (pour la mesure de Lebesgue $\mu$ sur $\mathbf{R}$ ), bornée et à support compact. Soit $\gamma = \sup_{t \in \mathbf{R}} f(t)$ . Pour tout $w \in \mathbf{R}$ , on désigne par $U_f(w)$ l’ensemble des $t \in \mathbf{R}$ tels que $f(t) \geq w$ ; on pose $v_f(w) = \mu^*(U_f(w))$ . Montrer que pour tout $\alpha > 1$ , on a

\int_{-\infty}^{+\infty} f^\alpha(t) dt = \int_0^\gamma v_f(w) \alpha w^{\alpha-1} dw.

b) Soit $g$ une seconde fonction numérique vérifiant les mêmes conditions que $f$ , et posons $\delta = \sup_{t \in \mathbf{R}} g(t)$ . Soit $h$ la fonction définie dans $\mathbf{R}^2$ par $h(u, v) = f(u) + g(v)$ si $f(u)g(v) \neq 0$ , et $h(u, v) = 0$ dans le cas contraire ; enfin, posons $k(t) = \sup_{u+v=t} h(u, v)$ , de sorte que $k$ est positive, intégrable, bornée et à support compact. Montrer que l’on a, pour tout $\alpha > 1$

\int_{-\infty}^{+\infty} k^\alpha(t) dt \geq (\gamma + \delta)^\alpha \left( \frac{1}{\gamma^\alpha} \int_{-\infty}^{+\infty} f^\alpha(t) dt + \frac{1}{\delta^\alpha} \int_{-\infty}^{+\infty} g^\alpha(t) dt \right)

(Observer que pour $0 < w < 1$ , on a $U_k(\gamma w + \delta w) \supset U_f(\gamma w) + U_g(\delta w)$ et utiliser a) et l’exerc. 23 d)).

c) Soient $\mu_n$ la mesure de Lebesgue dans $\mathbf{R}^n$ , A, B deux parties intégrables de $\mathbf{R}^n$ . Montrer que l’on a (« inégalité de Brunn-Minkowski »)

((\mu_n)_*(A + B))^{1/n} \geq (\mu_n(A))^{1/n} + (\mu_n(B))^{1/n}.

(Se ramener au cas où A et B sont compacts. Raisonner alors par récurrence sur $n$ en utilisant l’exerc. 23 d), le th. de Lebesgue-Fubini, l’inégalité prouvée dans b), ainsi que l’inégalité de Hölder).

Solution

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