Bài tập 5, § 1

Với mọi $a$ thuộc nhóm nhân $\mathbf{Q}^*$, gọi $\varphi(a)$ là tự đẳng cấu của nhóm cộng $\mathbf{R}$ được xác định bởi $\varphi(a)x = ax$. Trang bị cho $\mathbf{Q}^*$ tôpô rời rạc. Cho G là tích nửa trực tiếp tôpô của $\mathbf{Q}^*$ và $\mathbf{R}$ xác định bởi $\varphi$ (GT, III, §2, No. 10). Chứng minh rằng G đẳng cấu địa phương với $\mathbf{R}$, nhưng không đơn môđula.