Exercice 5, § 1

Pour tout $a$ appartenant au groupe multiplicatif $\mathbf{Q}^*$, soit $\varphi(a)$ l’automorphisme du groupe additif $\mathbf{R}$ défini par $\varphi(a)x = ax$. On munit $\mathbf{Q}^*$ de la topologie discrète. Soit G le produit semi-direct topologique de $\mathbf{Q}^*$ et $\mathbf{R}$ défini par $\varphi$ (Top. gén., chap. III, 3e éd., § 2, n° 10). Montrer que G est localement isomorphe à $\mathbf{R}$, mais n’est pas unimodulaire.